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IX. Logarithmusfunktionen
5. Kurvendiskussionen
A. Kurvenuntersuchungen
Im Folgenden werden Funktionen untersucht, deren Funktionsgleichungen logarithmische
Terme enthalten. Dabei werden die Standarduntersuchungen (Definitionsmenge, Nullstellen,
Extrema, Wendepunkte, Graph) durchgeführt und durch einige weitere Zusatzprobleme ergänzt.
..............................................
c Beispiel: Betrachtet wirdfðxÞ¼x ln x:
Skizzieren Sie die Graphen der Einzelterme
x und ln x und entwickeln Sie hieraus
den Graphen von f durch additive
Überlagerung.
c
Lösung:
Der Graph von f wird durch Differenzbildung
aus den beiden Graphen der Einzelterme
gewonnen. Es entsteht der abgebildete
Graph, der außer einem Minimum
keine weiteren Besonderheiten aufweist.
y
1
f(x) = x- ln x
1
x
ln x
x
..................................................................................................
c Beispiel: Diskutieren Sie fðxÞ¼x ln x (Definitionsmenge, Ableitungen, Nullstellen, Extrema,
Wendepunkte, Verhalten für x !1, Verhalten für x ! 0).
.
Lösung:
1. Definitionsmenge:
Der Term x ist für x 2 R definiert, der Term ln x nur für x > 0. Daher ist der Differenzterm
x ln x ebenfalls nur für x > 0 definiert: D f ¼ R þ :
2. Ableitungen:
f 0 1
ðxÞ¼1
x , f00 ðxÞ¼ 1 , f 000 ðxÞ¼ 2 x 2 x 3
3. Nullstellen:
f hat keine Nullstellen. Wir können die Gleichung x ln x ¼ 0 nicht nach x auflösen und
müssen daher den Nachweis argumentativ führen.
Fall 1: x 1: In diesem Bereich ist x > 0 und ln x 0, daher ist hier x ln x > 0. Es gibt
also keine Nullstelle.
Fall 2: x 1: In diesem Bereich ist 1 x 1 und damit f 0 1
ðxÞ¼1 0. f ist hier also monoton
steigend. Daher nimmt die Funktion ihren kleinsten Wert an der Stelle
x
x ¼ 1 an, nämlich fð1Þ¼1. Also hat f auch für x 1 keine Nullstelle.
4. Extrema:
Die Funktion besitzt ein Minimum an
der Stelle x ¼ 1. Es handelt sich um einen
Tiefpunkt Tð1j1Þ.
f 0 ðxÞ ¼0: 1
1
x ¼ 0 , 1 x ¼ 1 , x ¼ 1
y ¼ fð1Þ¼1 ln 1 ¼ 1
f 00 ð1Þ¼1 > 0 ) Minimum