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X. Weiterführung der Integralrechnung
2. Uneigentliche Integrale
In diesem Abschnitt werden wir den Inhalt von Flächen untersuchen, die unbegrenzt sind und
sich bis ins Unendliche ausdehnen.
Typ 1: Integral über einem unbeschränkten Intervall
c
..............................................................................................................................................
c
Beispiel: Der Graph von fðxÞ¼ 1 x 3 , die
Gerade x ¼ 1, die x-Achse und die Gerade
x ¼ k mit k > 1 schließen eine Fläche
ein.
a) Berechnen Sie deren Inhalt AðkÞ in
Abhängigkeit von k.
b) Untersuchen Sie das Grenzwertverhalten
des Flächeninhalts AðkÞ für
k !1.
Lösung zu a:
1. Stammfunktion:
Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion
von f.
2. Flächeninhaltsbestimmung:
Der gesuchte Flächeninhalt kann nun als
bestimmen Integral von f über dem Intervall
½1;kŠðk > 1Þ berechnet werden.
Resultat: AðkÞ¼ 1 2
1
2k 2
zu b: Verhalten von A(k) für k !1:
Mit zunehmendem k wandert die Gerade
x ¼ k weiter nach rechts, und die Fläche
AðkÞ dehnt sich immer weiter aus.
Für k !1erstreckt sich die Fläche bis ins
Unendliche. Man könnte vermuten, dass
diese unendlich ausgedehnte Fläche einen
unendlich großen Flächeninhalt hat. Dass
dies nicht so ist, können wir durch Grenzwertbestimmung
nachweisen. Der Inhalt
der Fläche wächst nicht über alle Grenzen,
sondern nähert sich überraschenderweise
immer mehr der Zahl 0,5.
y x = 1 x = k
1
fðxÞ¼ 1 x 3
FðxÞ¼ 1
2x 2
ð k 1
AðkÞ¼ dx ¼ FðkÞ
x 3
1
¼ 1 þ 1
2k 2 2 1 ¼ 1 2
Grenzwertbestimmung:
ð k 1
lim AðkÞ¼ lim dx
k!1 k!1 x 3
1
1
¼ lim
k!1 2
1
1
2k 2
¼ 1 2
Fð1Þ
1
2k 2
f(x) = 1 x 3
x
Unser Beispiel zeigt, dass auch Flächen, die nicht nach allen Seiten durch Randkurven begrenzt
sind, sondern sich bis in alle Unendlichkeit erstrecken, unter bestimmten Umständen durchaus
einen (endlichen) Flächeninhalt haben können.