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2. Kugeln, Geraden und Ebenen 475
11. Gegeben ist die Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r. Zeigen Sie, dass der Punkt
B auf der Kugel liegt, und bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene E, welche die
Kugel in B berührt.
a) Mð2j5j6Þ,r¼ 14, Bð6j 1j 6Þ b) Mð5j4j1Þ,r¼ 7, p Bð7j7j7Þ
c) Mð4j5j1Þ,r¼ 9, Bð5j9j9Þ d) Mð0j 3j3Þ,r¼ ffiffi
6 ,Bð1j 1j4Þ
12. Die Kugel K um den Mittelpunkt M berührt die Ebene E im Punkt B.
Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes B.
a) Mð2j1j3Þ,E:2xþ 2yþ z ¼ 18 b) Mð3j5j7Þ,E:12xþ 3y 4z¼ 192
" !#
c) Mð4j8j2Þ,E: ~x
10
30
25
8
1
4
!
¼ 0 d) Mð6j12 j 4Þ,E:~x¼ 4 0
6
!
þs
0
1
3
!
þt
!
2
1
0
13. Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r sowie die Ebene E.
Gesucht sind die Gleichungen der zu E parallelen Tangentialebenen von K.
a) K: Mð1j1j4Þ,r¼ 6 b) K: Mð2j0j1Þ,r¼ 14
E: x þ 2yþ 2z¼ 38 E: 2x þ 3yþ 6z¼ 108
14. Ein kugelförmiger Gasbehälter K (Durchmesser 10 m) berührt direkt eine senkrechte Mauer
in 6 m Abstand vom linken Mauerende im Punkt Tð 6j0j5Þ. Er soll durch eine schräge
Platte, die am Boden bei Að0j16,25j0Þ und Bð 12 j16,25j0Þ verankert ist und in den
Punkten Cð0j5j15Þ und Dð 12j5j15Þ durch senkrechte Streben gestützt wird, abgedeckt
werden.
a) Wie lautet die Gleichung der Kugel K
im gegebenen Koordinatensystem?
z
b) Wie lautet die Gleichung der Schutzplattenebene
E?
D
c) Wie groß ist der Sicherheitsabstand
zwischen Schutzplatte E und Kugel K?
C
d) Die Schutzplatte E soll aus Kostengründen
durch eine parallele Platte H
F
ersetzt werden, welche die Kugel berührt.
Wo liegt der Berührpunkt F?
B
Wo liegen nun die Bodenverankerungspunkte?
Auf welche Länge müssen
die Stützstreben verkürzt
x
A y
werden?
15. Gegeben ist die abgebildete Dreiecksfläche
mit den Ecken Að4j0j0Þ,
Bð0j4j0Þ, Cð0j0j2Þ.
In dieser Fläche befindet sich ein kreisförmiges
Loch um den Mittelpunkt
M 0 ð1j1j1Þ mit dem Radius r 0 ¼ 1.
In dieses Loch wird p eine Kugel K mit
dem Radius r ¼
ffiffiffiffiffi
10 gelegt.
Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der
Kugel K.
x
z
M' k'
M
K
y