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2. Uneigentliche Integrale 283
Übungen
4. Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale.
ð1
aÞ 4x 6 dx
2
bÞ
ð1
1
2
3p ffiffi dx cÞ
x
ð 2 1
1
ðx þ 1Þ 2 dx
ð 1
ð 1 ð1
dÞ x 2 þ 1 2x
dx
eÞ
4 5
x
dx fÞ dx
x 3
x 4 ð4 þ x 2 Þ 2
1
1
2
5. a) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt vom Graphen der Funktion
fðxÞ¼ 1 8 x2 , vom Graphen der Funktion gðxÞ¼ 2 und von der x-Achse – längs der
ðx 3Þ 2
positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt.
b) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt vom Graphen der Funktion
fðxÞ¼1,5x 2 , vom Graphen der Funktion gðxÞ¼0,5x 2 þ 1 und von der x-Achse – längs
der positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt.
c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die rechts von x ¼ 2 zwischen den Graphen der
Funktionen fðxÞ¼ 1 und gðxÞ¼ 1 liegt. Fertigen Sie zunächst eine Skizze an.
x 3 x 2
6. Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale.
aÞ
ð 1 0
x þ p
1 ffiffi dx
x
bÞ
7. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ cosx
x
a) Zeigen Sie, dass FðxÞ¼ sin x
x
ð p 2
ð p 2
1
cos 2 x dx cÞ sin 2x
0
0
sinx
x 2 :
b) Berechnen Sie das uneigentliche Integral
cosx dx dÞ ð 9 0
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
9 x
für 0 < x < p eine Stammfunktion von f ist.
2
ð p 2
0
fðxÞdx.
8. Überprüfen Sie, ob die folgende Rechnung richtig ist:
dx
h i 0
1
1
dx ¼
ðx þ 1Þ 2 x þ 1
¼ 1 1
4
ð 0 4
3 ¼ 4 3
9. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ 1 :
1 þ x 2
a) Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe einer Wertetabelle für 3 x 3.
b) Bestimmen Sie mithilfe der Substitution x ¼ tan z eine Stammfunktion von f.
c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral
ð1
1
fðxÞdx.