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VII. Integrationsmethoden
Übungen
5. Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels Substitution (Typ 1).
ð
ð
ð
a) ð3xþ 5Þ 4 dx b) cosð2x þ 3Þdx c) ð1 xÞ 2 dx
ð
ð
ð
d) sinx cos 2 x
xdx e)
3
sin x
dx f)
ð1 þ x 4 Þ 2 cos 4 x dx
6. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale.
a)
d)
ð 1 0
ð 2 1
1
dx b)
ð1 þ xÞ 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
1 þ x 2
3p dx e)
ð 4 0
ð 5 1
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
9 2xdx c)
p
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
5 x dx f)
0,5
ð
x 2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 x 3
0
ð 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
5xþ 1
0
7. Berechnen Sie die aufgeführten Integrale mit der angegebenen Substitution.
ð
ð
1
a) p
x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx Substitution: x ¼ 1 b) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
dx Substitution: z ¼ a 2 x 2
x 2 1
z
a 2 x 2
ð
ð
1
c) dx Substitution: z ¼ tanx d) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
9 x 2 dx Substitution: x ¼ 3sinz
sin 2 x
8. Die folgenden Integrale sind nicht ganz einfach zu knacken. Versuchen Sie es.
ð
ð
ð
1
a) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
dx b) sin 3 x cos 3 x
xdx c) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
dx
pffiffi
x þ 1
9. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt eines Kreises mit einem beliebigen Radius r (r > 0)
die bekannte Formel A ¼ pr 2 gilt.
Gehen Sie dabei folgendermaßen vor:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a) Begründen Sie: A ¼ 2 r 2 x 2 dx
ð r r
1 x 2
dx
dx
b) Berechnen Sie das bestimmte Integral mit Hilfe der Substitution x ¼ rsinz.
10. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt eines Kreissegments über dem Winkel a (im Bogenmaß
b) in einem Kreis mit einem beliebigen Radius r die Formel A ¼ r2 ð 2 b sinbÞ
gilt.
11. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt
einer Ellipse A ¼ pab gilt.
y
b
Hinweis: Die Koordinaten x, y eines
Punktes der Ellipse genügen der Gleichung
x2 þ y2
¼ 1.
a 2 b 2
-a
-b
a x