Download (PDF: 6.1 MB)

268
IX. Logarithmusfunktionen
Übungen
14. Gegeben ist die Kurvenschar f a ðxÞ¼x ða ln xÞ,a> 0 und x > 0.
a) Bestimmen Sie die Ableitungen f a 0 und f a 00 .
b) Untersuchen Sie f a auf Nullstellen.
c) Bestimmen Sie den Extremalpunkt von f a . Zeigen Sie, dass f a keine Wendepunkte besitzt.
d) Untersuchen Sie, wie sich die Funktion f 1 für x !1bzw. für x ! 0 verhält.
e) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 2 für 0 < x 8.
f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f a .
g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f 1 , der
x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f 1 umschlossen wird.
h) Geben Sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f a und den
Koordinatenachsen begrenzt wird, in Abhängigkeit von a an.
15. Gegeben ist die Kurvenschar f a ðxÞ¼a 2 x 2 a ln x, a > 0 und x > 0.
a) Bestimmen Sie die Ableitungen f a 0 und f a 00 .
b) Untersuchen Sie f a auf Extrema und Wendepunkte.
c) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 2 .
d) Zeigen Sie, dass der Graph von f 1 keine Nullstellen hat. Argumentieren Sie mit den
bisher erhaltenen Vorergebnissen.
e) Für welchen Wert von a liegt der Extremalpunkt von f a auf der x-Achse?
16. Gegeben ist die Kurvenschar f a ðxÞ¼x 2 a ln x, a > 0 und x > 0.
a) Bestimmen Sie die Ableitungen f a 0 und f a 00 .
b) Zeigen Sie, dass f a Extremalpunkte, aber keine Wendepunkte besitzt.
c) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 3 .
d) Für welchen Wert von a liegt der Tiefpunkt von f a auf der x-Achse?
e) Untersuchen Sie aufgrund des Ergebnisses von d) die Anzahl der Nullstellen von f a in
Abhängigkeit von a.
f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f a .
g) Untersuchen Sie die Kurvenschar f a ðxÞ¼x 2 a ln x für a < 0.
Wie ändert sich das Erscheinungsbild der Schar (Skizze) für nunmehr negative Parameterwerte
a?
17. Gegeben ist die Kurvenschar f a ðxÞ¼ðlnðaxÞÞ 2 a, a > 0 und x > 0.
a) Bestimmen Sie die Ableitungen f 0 a und f 00 a .
b) Untersuchen Sie f a auf Nullstellen und Extrema.
c) Zeigen Sie, dass alle Funktionen der Schar f a bei x ¼ e eine Wendestelle besitzen.
a
d) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 2 .
e) Wie verhält sich der Graph von f a für x !1bzw. x ! 0?
f) Für welchen Wert von a schneidet die Wendetangente die y-Achse im Punkt Pð0j 4Þ?
g) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Extremalpunkte von f a .
h) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte von f a .
i) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f a .