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IX. Logarithmusfunktionen
c
.....................................................................................................................................................................
c
Beispiel: Gegeben sei fðxÞ¼x ln x,x > 0: Führen Sie eine Kurvendiskussion von f durch.
Lösung:
1. Ableitungen:
Unter Verwendung der Produktregel
bestimmen wir f 0 und f 00 .
2. Nullstellen:
Wegen x > 0 kann der Faktor x des
Funktionsterms nicht null werden, sondern
nur der Faktor ln x.
Dies führt zur einzigen Nullstelle x ¼ 1.
3. Extrema:
Die nebenstehende Extremalberechnung
liefert ein relatives Minimum bei
x ¼ e 1 . Es handelt sich um einen Tiefpunkt
Tðe 1 j e 1 ÞTð0,37j 0,37Þ:
4. Wendepunkte:
Es gibt keine Wendepunkte, da der
Graph von f wegen f 00 ðxÞ > 0 beständig
mit Linkskrümmung verläuft.
5. Verhalten für x À‘:
x 1 10 100 1000 !1
f(x) 0 23 461 6908 !1
f 0 ðxÞ 1 3,3 5,6 7,9
6. Verhalten für x À 0:
x 1 0,1 0,01 0,001 ! 0
fðxÞ 0 – 0,23 – 0,046 – 0,0069 ! 0
f 0 ðxÞ 1 – 1,3 – 3,6 – 5,9 ! 1
Der Funktionsgraph verläuft also in der
Nähe des Ursprungs nahezu senkrecht.
Ableitungen:
f 0 ðxÞ ¼1 ln x þ x 1 x ¼ ln x þ 1
f 00 ðxÞ¼ 1 x
Nullstellen:
fðxÞ¼0
x ln x ¼ 0 j:x, dax> 0:
ln x ¼ 0
x ¼ 1
Extrema:
f 0 ðxÞ¼0
ln x þ 1 ¼ 0
ln x ¼ 1
x ¼ e 1 0,37, y 0,37
f 00 ðe 1 Þ¼e > 0 ) Minimum
Wendepunkte:
f 00 ðxÞ¼ 1 > 0 ) keine Wendepunkte
x
7. Graph:
y
1
T
f(x) = x·ln x
1 2
x
Übung 3
Führen Sie eine Kurvendiskussion von f durch.
aÞ fðxÞ¼x 2 ln x,x > 0 bÞ fðxÞ¼x lnðx 2 Þ,x6¼ 0