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IX. Logarithmusfunktionen
D. Die logarithmische Integration
Die Funktion gx ð Þ¼ 1 x ¼ x 1 war die einzige Potenzfunktion, die sich nicht mithilfe der verallgemeinerten
Potenzregel integrieren ließ. Das unbestimmte Integral dieser Funktion und das
unbestimmte Integral einer Funktion der Form gx ð Þ¼ f 0 ðxÞ
lassen sich jedoch mit Hilfe der
fx ð Þ
natürlichen Logarithmusfunktion darstellen. Wir begründen dies nun genauer.
Für x > 0 gilt: ½lnxŠ 0 ¼ 1 x .
Daher ist Fx ðÞ¼ lnx für x > 0 eine
Stammfunktion von fx ð Þ¼ 1 x .
Für x < 0 gilt: ½lnð
xÞŠ 0 ¼ 1 x ð 1Þ¼
1 x .
Also ist Fx ðÞ¼ lnð xÞ für x < 0 eine
Stammfunktion von fx ð Þ¼ 1 x .
Diese beiden Aussagen können wir folgendermaßen
zusammenfassen:
Die logarithmische Integration
Für x 6¼ 0 ist fx ðÞ¼ 1 x integrierbar:
ð
1
x
dx ¼ ln jxj þ C.
Für
fx ðÞ> 0 gilt nach der Kettenregel
½ln fðÞ
x Š 0 ¼ 1
fx ðÞ f 0 ðÞ¼ x
f 0 ðxÞ
fx ð Þ .
Daher ist Fx ðÞ¼ lnðfðxÞÞfür fx ðÞ> 0 eine
Stammfunktion von f 0 ðxÞ
fx ð Þ .
Für fx ðÞ< 0 ist analog Fx ð Þ¼ lnð
fx ðÞÞ
eine Stammfunktion von f 0 ðxÞ
fx ð Þ .
Dies führt auf die folgende Verallgemeinerung
der logarithmischen Integration:
Verallgemeinerte
logarithmische Integration
f sei eine differenzierbare Funktion, die
nicht null wird. Dann gilt:
ð
f 0 ðÞ x
dx ¼ ln jf ðÞjþC. x
fx ðÞ
..........................................................................
c Beispiel: Gesucht ist jeweils der Inhalt der abgebildeten Fläche A.
y
1
f(x) = 1 x
1 2 3
Lösung:
Fx ðÞ¼ lnjxj ist eine Stammfunktion von
fx ðÞ¼ 1 . Daher gilt:
x
ð 3 1
A ¼
x dx ¼½ln jxjŠ3 1
1 ¼ ln3 ln1
1,099 0
c 1,1
x
y
1
f(x) = 2
2x−3
2 4
x
Lösung:
Der Zählerterm 2 ist die Ableitung des
Nennerterms 2x 3, daher kann logarithmisch
integriert werden:
A ¼
ð 4 2
2
2x 3 dx ¼½lnj2x 3jŠ4 2
¼ ln5 ln1 ¼ ln5 1,609