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IX. Logarithmusfunktionen
Übungen
Ableitungsübungen
7. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f 0 .
aÞ fðxÞ¼lnðx 2 2xÞ bÞ fðxÞ¼ln ðln xÞ cÞ fðxÞ¼lnðe x þ e x Þ
dÞ fðxÞ¼ 1
p
eÞ fðxÞ¼
ffiffiffiffiffiffiffi
p
ln x
fÞ fðxÞ¼
ffiffi x
ln x
ln x
gÞ fðxÞ¼x 3 ln ð2xÞ hÞ fðxÞ¼ðx þ 1Þlnðx 2 1Þ iÞ fðxÞ¼ x2
ln x
qffiffiffiffiffiffiffiffiffi
jÞ fðxÞ¼ln 1 þ x
e
kÞ fðxÞ¼ln
x
1 þ e
lÞ fðxÞ¼ln
x
1 x
1 þ e x
1 e x
8. a) Entwickeln Sie eine Ableitungsregel für die allgemeine Logarithmusfunktion
fðxÞ¼log a x ða > 0, a 6¼ 1 und x > 0Þ. Verwenden Sie hierbei die aus der 10. Klasse
bekannte Regel für die Basistransformation: log a x ¼ log b x
ðb > 0, b 6¼ 1Þ.
log b a
b) Berechnen Sie mit der in a) entwickelten Ableitungsregel die Ableitung f 0 folgender
Funktionen für x > 0:
1: fðxÞ¼log 2 x 2: fðxÞ¼log 1 3: fðxÞ¼log x log
x
5 x
9. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von fðxÞ¼x x für x > 0.
Hinweis: Schreiben Sie den Funktionsterm als Potenz mit der Basis e.
10. Welches ist die richtige Stammfunktion (für x > 0)? Weisen Sie Ihre Behauptung nach.
B. f(x) = ln x +1
A. f(x) = ln x + x
C. f(x) = 2 x
IV. F(x) = x · ln x
II. F(x) = ln (x 2 )
I. F(x) = x(ln x + ln 2-1)
D. f(x) = ln (2x)
III. F(x) = x · ln x - x + 0,5x 2
Die logarithmische Integration
11. Berechnen Sie mittels logarithmischer Integration eine Stammfunktion von f.
aÞ fðxÞ¼ 2x
x 2 þ 3
dÞ fðxÞ¼ 1
x ln x
bÞ fðxÞ¼ 6
3x 9
eÞ fðxÞ¼ 1 þ ex
x þ e x
cÞ fðxÞ¼ x3 þ x
x 4 þ 2x 2
fÞ fðxÞ¼ ex þ e x
e x e x
12. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A unter dem Graphen von f über dem Intervall I.
aÞ fðxÞ¼ 1
x þ 2 ,I¼½0;4Š
6x
e2x
bÞ fðxÞ¼ ,I¼½0;3Š cÞ fðxÞ¼ ,I¼½10 ; 11Š
x 2 þ 3 1 þ e 2x