Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

2.2.2 DieBinomialverteilung B n (p)
Die Messung bestehe darin, in einem System zwei sich gegenseitig ausschließende Merkmale
A bzw. Ā zu unterscheiden und entsprechend zu klassifizieren. Typisches Beispiel in der Physik
sind Experimente, in denen Teilchen (Photonen, Elektronen, Protonen, etc.) gezählt werden;
A bedeutet dann, dass das Teilchen in einem vorgegebenen Zeit-, Energie-, oder Impulsfenster
registriert wurde, bzw. Ā nicht registriert wurde. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der
Ausprägung A sei p und entsprechend 1− p für die komplementäre Ausprägung Ā.
Annahme: Eine Datenanalyse oder eine andere a priori Information liefere uns einen soliden
Schätzwert für p.
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P n (k), dass bei n Realisationen der Messung k mal
die Ausprägung A registriert wird? Antwort:
n
k
P n (k)=
· p k·(1− p) n−k (19)
Die daraus gewonnene Verteilung heißt Binomialverteilung B np (k). Sie ist naturgemäß diskret
und wird durch die zwei Parameter n und p festgelegt.
Ihr Mittelwert ist: µ=np (20)
Ihre Varianz ist: σ 2 = np(1− p) (21)
P n (k) wird maximal für np+p−1≤k≤np+ p (22)
• Mit Hilfe der Stirling’schen Formel kann gezeigt werden, dass sich für große n und nicht
zu extreme p die Binomialverteilung B np (k) einer Normalverteilung N(x; np, np(1− p)) (s.
Abschnitt 2.2.5) nähert, d. h.:
∑ ∑ ∫ x
n
P n (k)= p
k
k (1− p) n−k 1
−→ exp − (ξ−np)2
dξ
2π np(1− p) 2(np(1− p))
k