EinfÃ¼hrung in die Messdatenanalyse fÃ¼r das Physikalische ...

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1 P µ (k) 0.8 k=0 0.6 0.4 0.2 k=1 k=2 k=4 k=6 0 0 2 4 6 8 10 Mittelwert µ Abbildung 2: Darstellung der Poissonverteilung (29). Man sollte sich aber durch diese Darstellungnichtverwirrenlassen:DiePoissonverteilungistdiskretin k.Aberesistüblich, sieüber ihren Parameter Mittelwertµaufzutragen. Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Wiederholung der Messung k-mal das Merkmal A zu messen? Konkret z. B. die Messung von radioaktiven Kernzerfällen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei Vorliegen von n radioaktiven Atomkernen in einem gegebenen Zeitfenster genau k Zerfallsereignisse zu messen? Die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist durch die Binomialverteilung (19) mit p=µ/n (25) gegeben: 2 P n (k)= n k µ k· · 1− µ n−k (26) n n Nun ist n in einem kernphysikalischen Experiment typischer Weise eine sehr große Zahl: selbst bei wenigen Mikrogramm eines radioaktiven Elementes ist n von der Größenordnung 10 15 . Im Vergleich dazu sind effektive Zählereignisse sehr selten. Das heißt es liegen folgende Verhältnisse vor: k/n≪1,µ/n≪1 und n→∞. Damit können wir folgende Näherungen machen: Einsetzen in (26) von 1− µ n−k −→ exp(−µ) (27) n n 1 1 und −→ (28) k n k k! ergibt die Poissonverteilung : P µ (k)= µk exp(−µ) (29) k! 2 Die Binomialverteilung sieht streng genommen nur Experimente „mit Zurücklegen“ vor, damit die Wahrscheinlichkeit p für ein einzelnes Ereignis sich im Verlauf des Versuches nicht ändert. Im vorliegenden Fall ist aber die Anzahl k der zerfallenen Kerne gegen n eine sehr kleine Zahl, so dass die Bedingung einer unveränderten Wahrscheinlichkeit p auch ohne „Zurücklegen“ erfüllt bleibt. 11
Die Poissonverteilung P µ (k) ist eine diskrete Verteilung und wird durch einen einzigen Parameter, ihren Mittelwertµfestgelegt. Ihre Varianz beträgt Varianz der Poissonverteilung: σ 2 =µ (30) Mittelwert und Varianz der Poissonverteilung sind also gleich groß. Für große Mittelwerte lässt sich die Poissonverteilung durch eine Normalverteilung approximieren, die dann ebenfalls nur einen freien Parameter aufweist: ∑ ∑ P µ (k)= k
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Seite 9 und 10: Ergebnis: Die korrekte Taschenrechn
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Seite 21 und 22: 3 AngabevonMessunsicherheitennach G
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