Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

X i
µ
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Messreihe i
Abbildung 6: Darstellung der Resultate eines Experiments, in dem die Größe X in 8 Messreihen
ermittelt wurde. Jede Messserie i liefert einen Datensatz, der hier durch seinen
Mittelwert ¯x i und das 68%-Konfidenzintervall als Unsicherheitsbalken repräsentiert
wird. Die Grafik sollte so interpretiert werden: Im Mittel werden 68% der
Unsicherheitsintervalle den (unbekannten) wahren Wertµder untersuchten Größe
X enthalten.
Um nochmals die Bedeutung zu veranschaulichen: Nehmen wir an, wir würden das Experiment
noch einige Male wiederholen. Jede Wiederholung liefert einen neuen Datensatz
{x i } 1 ,{x i } 2 , . . .,{x i } n . In Abb. 6 sind n=8Datensätze dargestellt mit ihren jeweiligen Mittelwerten
¯x i und den 68%-Konfidenzintervallen als Unsicherheitsbalken. Der im Normalfall
unbekannte, wahre Wertµder gemessenen Größe X wird dann in 68%, also ca. 2/3, der
dargestellten Balken zu finden sein.
Wenn uns 68% zu unsicher sind, sagt uns die Normalverteilung N(µ, s/ n), wie groß wir in
Einheiten von s/ n das Intervall wählen müssen, um eine bestimmte Überdeckungswahrscheinlichkeit
zu gewährleisten. Wollen wir z. B. mit 95% Konfidenz das Intervall festlegen, so wird
das entsprechende Intervall eine Breite von 1.96·s/ n aufweisen.
Hinweis: Es ist in der Physik üblich, in grafischen Darstellungen von Experimentdaten die
Messpunkte mit sog. Unsicherheitsbalken (Fehlerbalken) zu versehen. Diese Unsicherheitsbalken
haben standardmäßig die Länge von±s¯x =±s/ n, vgl. (4). Sie repräsentieren also im
Falle einer Normalverteilung eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 68% oder auch ein 68%-
Konfidenzintervall.
2.3.1 DieStudent’sche t-Verteilung
Liegt den Schätzwerten für Mittelwert und Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsgröße
X nur ein geringer Stichprobenumfang zugrunde, was im Grundpraktikum durchaus vorkommen
kann, so muss zur Angabe der Unsicherheit des Mittelwertes bzw. zur Angabe eines
Konfidenzintervalles zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit, ein Korrekturfaktor berücksichtigt
werden.
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