EinfÃ¼hrung in die Messdatenanalyse fÃ¼r das Physikalische ...

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4. Falls wir annehmen können, dass die Werte einer Messreihe normalverteilt sind, so sind die nach (2) bzw. (3) bestimmten Werte umso bessere Schätzwerte für den Mittelwertµ und die Standardabweichungσder Verteilung, je größer die Anzahl Messdaten n ist. Da es aufwändig ist, viele Daten zu messen, wird man oft mit kleinen n auskommen wollen. Wie bei Glg. (4) diskutiert, geht aber die Anzahl der Messwerte∝1/ n in die Unsicherheit der geschätzten Lage des Mittelwertes ein. In der Praxis gilt daher: die Anzahl Messwerte in einer Messreihe sollte vernünftigerweise 10 nicht unterschreiten. Verwendet man kleinere Datensätze zur Abschätzung von Mittelwert und Standardabweichung, dann ist die Unsicherheit des Mittelwertes mit Hilfe des sog. t-Faktors zu korrigieren. Mehr dazu im Abschnitt 2.3.1 2.2.6 DerZentrale Grenzwertsatz (CentralLimit Theorem) Worin begründet sich nun die hohe Universalität der Normalverteilung und die Tatsache, dass diese Verteilung so einen großen Stellenwert in der mathematischen Statistik wie auch in der praktischen experimentellen Arbeit einnimmt? Die Antwort darauf liefert der sogenannte Zentrale Grenzwertsatz. Bei unzähligen Problemen des experimentellen Alltags lässt sich die Verteilung einer interessierenden Zufallsgröße nur mit enormem Aufwand oder auch gar nicht exakt bestimmen. Der Zentrale Grenzwertsatz liefert nun in vielen Fällen eine asymptotische Aussage über die Verteilung, die in der Praxis meist völlig ausreichend ist und dem Experimentator häufig weitreichende Möglichkeiten an die Hand gibt, seine Resultate zu beurteilen. Es gibt den Zentralen Grenzwertsatz in verschiedenen Varianten. Eine einfache Form lautet wie folgt, für einen Beweis wende man sich an die Standardlehrbücher [5, 6]: Seien{X 1 , X 2 , ...X n } unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen 3 mit Mittelwertµund Standardabweichungσ. Dann konvergiert die Verteilung der Mittelwerte X n =(X 1 + X 2 + ...+ X n )/n für n→∞ gegen die Normalverteilung N(X n ;µ,σ/ n). Das bedeutet, dass wir ohne eine Annahme über die Form der tatsächlichen Verteilung der Einzelmessungen{x i } zu machen, wissen, dass die daraus gewonnenen Mittelwerte normalverteilt sind, sofern sie nur aus einer ausreichenden Anzahl n von Einzelmessungen gewonnen wurden. Wichtig dabei ist lediglich, dass die beiden Voraussetzungen „unabhängig“ und „identisch verteilt“ erfüllt sind, was bei einer Mittelwertbildung aus unter gleichen Bedingungen durchgeführten Einzelmessungen für gewöhnlich der Fall ist. Was „ausreichende Anzahl“ genau bedeutet hängt im Allgemeinen von der konkreten Verteilung der{x i } ab. In der Regel ist jedoch eine Normalverteilung der Mittelwerte bereits ab n≥10 akzeptabel erfüllt. Wir betrachten dazu als Beispiel eine Zufallsgröße X, die der Einfachheit halber alle Werte im Intervall[0, 1] mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen soll, d. h. es liegt eine gleichverteilte Zufallsgröße vor und die Wahrscheinlichkeitsdichte der Grundgesamtheit ist: f gleich (x)= 1 für 0≤ x≤ 1 0 sonst (39) mit einem Mittelwertµ g = 0.5 und einer Standardabweichungσ g = 1/(2 3). Nun bestimmen wir in einem Computerexperiment die Verteilung von Mittelwerten X n =(X 1 + X 2 + ...+X n )/n, 3 Hier wird also nichts über die konkrete Form der Verteilung vorausgesetzt, diese ist beliebig! 15
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 f(x) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1.4 1.2 1 f(x) X 1 2 1.5 f(x) X 2 0.8 0.6 1 0.4 0.2 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 3 f(x) X 5 4 f(x) X 10 3 2 2 1 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x Abbildung 5: Beispiel für den Zentralen Grenzwertsatz. Für eine gleichverteilte Zufallsgröße X, x∈[0, 1]wirddieVerteilungverschiedenerMittelwerte X n =(X 1 +X 2 +...+X n )/n durch ein „Computerexperiment“ bestimmt. Die Stichprobengröße ist jeweils 10 5 . Ganz oben: die Verteilung der Grundgesamtheit mit einem Mittelwert vonµ g = 0.5undeinerStandardabweichungvonσ g = 1/(2 3).Die„experimentell“ermitteltenStichprobenverteilungensindalsHistogrammedargestellt.ZumVergleichist jeweils eine Normalverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Standardabweichungσ g / n gezeigt. Je mehr unabhängige Zufallsgrößen in die Mittelwertbildung eingehen, desto schmaler wird die Verteilung der Mittelwerte und desto mehr nähert sichdieseeinerNormalverteilung. 16
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