Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

Hilfsgrößen x, y, z, . . . sich gegenseitig nicht beeinflussen, diese also untereinander statistisch
unabhängig sind, dann folgt aus dem Additionstheorem für Varianzen Glg. (16) das Gauß’sche
Fortpflanzungsgesetz für Messunsicherheiten:
∂ u
2 ∂ u
2 ∂ u
2
∆ū=
∂ x +
x0·∆x
∂ y +
y0·∆y
∂ z + . . . (49)
z0·∆z
Der Ausdruck ∂ u
∂ x x0
bedeutet dabei, dass die partielle Ableitung von u an der Stelle des Wertes
x 0 auszuwerten ist.
Die Einsicht von Gauß, dass sich die Standardabweichungen wie in (49) quadratisch fortpflanzen,
ist für den Experimentator äußerst wichtig. Setzen wir die entsprechenden Zahlenwerte
ein, so offenbart die Betrachtung der einzelnen Summanden unter der Wurzel, ob ein Experiment
gut konzipiert wurde. Überwiegt ein Summand die anderen deutlich, so zeigt dies, dass die
entsprechende Größe zu wenig genau gemessen wurde, bzw. dass die dafür verwendeten Instrumente
und Verfahren verbessert werden müssen. Da die Unsicherheiten quadratisch eingehen,
ist es sinnlos zu versuchen, die Beiträge an sich bereits kleiner Summanden noch kleiner zu
machen. An den großen Summanden muss angesetzt werden. Ein gut konzipiertes Experiment
ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Summanden ungefähr den gleichen Beitrag liefern. In
diesem Sinne ist (49) auch ein wichtiges Instrument für Planung, Beurteilung und Optimierung
von Experimenten.
Abschließend soll darauf hingewiesen werden, dass die einheitliche Anwendung von Glg. (49)
auf alle Messunsicherheitsbeiträge entscheidend auf den Voraussetzungen und dem Wahrscheinlichkeitsbegriff
der Bayes’schen Statistik beruht. Glg. (49) setzt voraus, dass es sich bei allen
Beiträgen um Varianzen bzw. Standardabweichungen handelt, d. h. dass allen Unsicherheitsangaben
Verteilungen zugrunde liegen. Im Rahmen der konventionellen Statistik ist die Zuordnung
einer Verteilung z. B. für systematische Messabweichungen meist nicht möglich. Die Angabe von
Unsicherheiten dieser Art müsste dann stets getrennt von den statistischen Unsicherheiten erfolgen.
Nur die Fortpflanzung statistischer Unsicherheiten dürfte dann gemäß Glg. (49) erfolgen,
alle anderen Beiträge müssten auf andere Weise, z. B. über den sog. Größtfehler abgeschätzt
werden [2]. Allgemein gilt dieses Verfahren deshalb als unpraktikabel und so ist der Bayes’sche
Ansatz Grundlage für das durch den GUM und seine Ergänzungen vorgeschlagene international
einheitliche Verfahren zur Ermittlung und Angabe von Messunsicherheiten.
Beispiel:Bestimmungder Brennweite f einer Linse
Die Brennweite f einer Linse werde durch die unabhängige Messung der Gegenstandsweite a
und der Bildweite b einer Abbildung eines Testgegenstandes ermittelt. Die Messung liefert die
Information a=a 0 ±∆a und b= b 0 ±∆b. Wie groß ist der sich daraus ergebende Schätzwert
für die Brennweite der Linse f 0 und wie lässt sich die Standardabweichung der Verteilung von
f abschätzen?
Die Brennweite f errechnet sich als 1/f = 1/a+ 1/b, also
f= f(a, b)= a· b
a+ b
(50)
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