Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

∂χ 2 (a,b)
∂ a
sind:
= 0 und ∂χ2 (a,b)
∂ b
= 0 erhält man unter der Voraussetzung, dass alle∆y i gleich groß
a= n∑ x i y i −( ∑ x i )( ∑ y i )
n ∑ x 2 i−( ∑ x i ) 2 (62)
b= (∑ y i )( ∑ x 2 i )−(∑ x i )( ∑ x i y i )
n ∑ x 2 i−( ∑ x i ) 2 (63)
Im allgemeineren Fall, dass die Funktionη(x) nichtlinear ist oder dass die Messunsicherheiten
∆y i unterschiedlich ausfallen, wird manχ 2 numerisch minimieren. Auch wenn wir auf die dabei
angewandten Methoden an dieser Stelle nicht näher eingehen können, sei als Stichwort der
Levenberg-Marquardt Algorithmus erwähnt, der hier in ganz vielen praktischen Fällen Anwendung
findet. Dem interessierten Leser sei dazu das Kapitel Modeling of Data in den Numerical
Recipes empfohlen, welches nicht nur die mathematischen Zusammenhänge leicht verständlich
aufbereitet sondern auch fertig programmierte Routinen anbietet [15].
Nehmen wir nun an, wir haben mit dem geeigneten Verfahren s freie Parameter durch Minimierung
vonχ 2 über unsere n Messpunkte festgelegt. Dann ergibt sich aus unseren Messdaten
und Glg. (61) ein Wertχ 2 min für das so erhaltene minimaleχ2 und wir können denχ 2 Test
durchführen, indem wir wieder eine Vertrauensgrenzeαfestlegen und das 1−α-Quantil der
χ 2 Verteilung, diesmal für n−s Freiheitsgrade nachschlagen. Und dann gilt wie immer: istχ 2 min
größer lehnen wir das Modell ab, ist es kleiner akzeptieren wir.
Auch hier nochmal eine Zusammenfassung des Verfahrens:
• Durch unser Experiment gewinnen wir n Messwerte der Größe Y mit den zugehörigen
Unsicherheiten, also n Zahlentripel der Form{x i , y i ,∆y i }.
• Mit einem geeigneten Verfahren wählen wir die s freien Parameter in unserem mathematischen
Modellη(x; a 1 , . . ., a s ) so, dassχ 2 aus (61) minimal wird.
• Mit dem so erhaltenenχ 2 min führen wir einenχ2 -Test mit n−s Freiheitsgraden durch. Für
zu großeχ 2 min
ist das Modellη(x) abzulehenen, bei zu kleinen Werten erhebt sich u. U. der
Verdacht auf Datenmanipulation oder die Messunsicherheiten wurden falsch eingeschätzt.
Ein Beispiel:Der ZerfallvonBierschaum
Betrachten wir ein Beispiel und untersuchen den Zerfall von Bierschaum. Dabei wird in einem
zylindrischen Glas zu verschiedenen Zeiten t i die Höhe h i des Bierschaumes gemessen. Das Experiment
wird wiederholt, am besten mit der bevorzugten Marke des Experimentators ;-), und
zu jedem Zeitpunkt t i die mittlere Höhe ¯h i mit zugehöriger Unsicherheit∆¯h i ermittelt. Abbildung
10 zeigt Messdaten aus [13], die für Erdinger Weißbier gewonnen wurden. Es wurden
im Zeitraum zwischen 0 und 360 s 15 Messpunkte ¯h i und deren zugehörige Unsicherheiten∆¯h i
bestimmt.
Nun fragen wir uns, was als mathematisches Modell für den Bierschaumzerfall in Frage kommt.
Wenn die Zerfallsrate proportional zum Volumen des Schaums und damit zur Höhe in einem
zylindrischen Glas ist, also dh/dt∝ h, dann erwarten wir exponentiellen Zerfall gemäß:
h(t)=h 0 e −t/τ (64)
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