Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

Stichprobe zu realisieren zu klein, falls die Hypothese wahr ist. Es besteht dann ebenfalls
Grund anzunehmen, dass die Daten nicht mit der Hypothese verträglich sind.
4.2 Derχ 2 -Test:VergleicheTheorieund Experiment
Derχ 2 -Test (Chi-Quadrat-Test) liefert ein Maß für die Verträglichkeit eines Datensatzes mit einer
theoretischen Vorhersage für den Fall dass Datenwerte y i als Funktion eines gewissen Merkmals
x i erfasst wurden [12, 13]. Zum Beispiel könnte eine experimentell ermittelte Häufigkeitsverteilung
h(x) einer Messgröße X mit einer hypothetischen Verteilungsfunktionϕ(x) verglichen
werden oder die experimentell gefundene Temperaturabhängigkeit einer physikalischen Größe
c(T) zur Überprüfung einer Theorie herangezogen werden, die ˜c(T) vorhersagt. Der Grundgedanke
desχ 2 -Tests ist dabei sehr einfach: Man quantifiziert die Abweichungen von theoretischer
Vorhersage und experimentellen Daten mittels einer Größeχ 2 . Ist diese zu groß, so wird beispielsweise
die Hypothese: „ϕ(x) repräsentiert die Verteilungsfunktion der Daten“ verworfen.
Liegt der Unterschied unterhalb eines gewissen Wertes, der natürlich von der Größe des Datensatzes
abhängt, so wird die Hypothese angenommen. Zunächst müssen wir also die Abweichung
von Messwerten und theoretischer Erwartung quantifizieren und Aussagen über die Verteilung
dieser „Abweichungsgröße“χ 2 treffen.
Summeder quadratischen Abweichungenundχ 2 -Verteilung
Experimentell sei ein Datensatz{y i } mit zugehörigen Unsicherheiten∆y i ermittelt worden, z. B.
die empirische Verteilung von Häufigkeiten der erhaltenen Werte x i einer Messgröße X. Dann
beschreibt die Quadratsumme der gewichteten Abweichungen oder auch Residuen R i =(y i −
ϕ(x i ))/∆y i wie gut die Messwerte mit einem theoretisch erwarteten Verhaltenϕ(x i ) verträglich
sind, also:
n∑ n∑
yi
χ 2 = R 2 −ϕ(x i ) 2
i=
(57)
∆y i
i
i
Um als nächstes Aussagen über die Verteilung der Größeχ 2 treffen zu können, ist folgender
Satz über die Verteilung der Quadrate von normalverteilten Zufallsgrößen der Ausgangspunkt:
Seien{R 1 , R 2 , ...R k } unabhängige und gemäß N(0, 1) standardnormalverteilte Zufallsgrößen.
Die Größe Z k = ∑ k
i R2 i
ist dannχ 2 -verteilt mit k Freiheitsgraden und der Dichtefunktion:
f χ 2(z, k)= zk/2−1 e −z/2
2 k/2 Γ(k/2)
(58)
Wichtig ist also, dass die R i statistisch unabhängig und standardnormalverteilt sind. Sind dabei
die Zufallsgrößen Y i nach N(µ i ,σ i ) normalverteilt und ist die Theorieϕ(X i ) korrekt, dann
beschreibtϕ(x i ) gerade den Erwartungswert von Y i , alsoϕ(x i )=µ i und∆y i =σ i . Damit
entsprechen die R i aber gerade der Transformation aus Glg. (36) und sind somit N(0, 1) normalverteilt.
Ob die Größen Y i allerdings normalverteilt sind muss im Einzefall geklärt werden.
Typisch wäre, dass es sich bei den experimentell ermittelten y i selbst bereits um Mittelwerte
handelt und so der Zentrale Grenzwertsatz zumindest die näherungsweise Normalverteilung
sichert, oder dass Y i binomialverteilt ist aber man die Normalverteilungsnäherung für große n
30