Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

„linearer Zerfall“ zu verwerfen, während sich für den exponentiellen Zerfall eine Wahrscheinlichkeit
P(χ 2 ≥ 10.1)=68.6% ergibt, d. h. in etwa zwei von drei Experimenten werden wir
Werte vonχ 2 min
erhalten, die größer sind, als wir sie im vorliegenden Experiment gefunden haben,
in einem von drei Experimenten werden im Mittel die Werte kleiner sein. Dies ist realistisch
und damit ist die Theorie akzeptiert.
4.3 Hypothesentestsin derBayes’schen Statistik
Wie bereits in Abschnitt 3.2 über Messunsicherheiten erwähnt, gewinnen die Methoden der
Bayes’schen Statistik zunehmend an Bedeutung für die naturwissenschaftliche Datenanalyse
[3, 4, 7, 8]. Eine Einführung in die Bayes’sche Statistik würde den Rahmen dieses Skriptes
jedoch sprengen. Deshalb müssen wir den Leser auf die verfügbare Literatur verweisen (sehr
gut für den Einstieg geeignet ist z. B. [8]) und werden uns im Folgenden auf ein paar wenige
Hinweise und ein Beispiel beschränken.
Wie bereits mehrfach erwähnt, wird in der Bayes’schen Statistik ein anderer Wahrscheinlichkeitsbegriff
zugrunde gelegt als in der konventionellen frequentistischen Sichtweise. Wahrscheinlichkeit
wird nicht mehr nur als relative Häufigkeit verstanden, sondern gibt den Grad
unserer Überzeugung an, mit dem wir auf der Basis der vorliegenden unvollständigen Information
erwarten können, dass ein Ereignis eintritt. Damit beschreibt Wahrscheinlichkeit eher die
Information, die wir über einen Sachverhalt zur Verfügung haben. Diese kann uns als (empirische)
Verteilung relativer Häufigkeiten vorliegen, kann aber auch von anderer Form sein. Wie
sich auch in diesen Fällen Wahrscheinlichkeitsverteilungen eindeutig zuordnen lassen, haben
wir im Abschnitt 3.2 bereits diskutiert.
In der Bayes’schen Herangehensweise betrachtet man grundsätzlich bedingte Wahrscheinlichkeiten.
In diesem Kontext bedeutet z. B. P(A| B) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A
eintritt unter der Bedingung, dass B vorliegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B tatsächlich zusammen
auftreten ist dann P(A, B)= P(A| B)· P(B)= P(B| A)· P(A). Daraus folgt das Bayes’sche
Theorem:
P(B| A)· P(A)
P(A| B)= , (66)
P(B)
welches grundsätzlich den Ausgangspunkt für eine Datenanalyse im Rahmen der Bayes’schen
Statistik bildet. Die Relevanz dieser zunächst abstrakten Überlegung erschließt sich, sobald man
in Glg. (66) die Größen A und B durch Hypothese und Messdaten ersetzt. Dann liest sich obige
Gleichung so:
P(Hypothese| Daten)=
P(Daten| Hypothese)· P(Hypothese)
P(Daten)
(67)
Dabei wird die linke Seite der Gleichung P(Hypothese| Daten) die Posteriori-Wahrscheinlichkeit
genannt. Sie setzt sich zusammen aus der Likelihood P(Daten| Hypothese), die auch in
der konventionellen Statistik verwendet wird, und der sogenannten Priori-Wahrscheinlichkeit
P(Hypothese). Letztere stellt unseren Kenntnisstand vor der Messung dar und könnte so sinngemäß
auch als „Vorurteil“ bezeichnet werden. Glg. (67) zeigt dann auf, wie neue Messdaten
unsere Kenntnis über einen Sachverhalt modifizieren. Der Ausdruck P(Daten) im Nenner von
Glg. (67) stellt lediglich einen Normierungsfaktor dar.
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