Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

h j
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 20 40 60 80 100
Abbildung 3: HistogrammeinesDatensatzes{x i , i= 1...380}.DieMesswerte x i wurdenin m=
10 Klassen eingeteilt. h j (j=1...10) bezeichnet die relative Häufigkeit, mit der
einMesswertindie Klasse j fällt.
x
2.2.5 DieNormalverteilung N(x;µ,σ)
Eine Zufallsgröße heißt normal- oder gaußverteilt wenn die zugehörige Dichtefunktion folgende
Form hat:
Normalverteilung: N(x;µ,σ)= 1
σ 2π· exp − (x−µ)2
2σ 2
(32)
N(x;µ,σ) oder auch kurz N(µ,σ) beschreibt eine symmetrische Glockenkurve, die durch die
beiden Parameterµundσeindeutig festgelegt ist. Die Kurve hat ihr Maximum an der Stelle
x=µund die Breite 2σ an den Wendepunkten, siehe Abb. 4. Der Parameterσist dabei
gleichzeitig die Standardabweichung der Verteilung gemäß Glg. (13) undµist der Mittelwert
der Normalverteilung gemäß Glg. (12). Wenn eine Messgröße gemäß N(µ,σ) normalverteilt
ist, so kann der Verteilungsparameterσ, gemäß unseren Überlegungen zu Glg. (18), aus dem
Messdatensatz{x i } nach Formel (3) abgeschätzt werden, alsoσ=s. Beschreibt hingegen die
Normalverteilung eine Verteilungsfunktion von Mittelwerten, so sind die Verteilungsparameter
nach Glg. (2) und (4) zu ermitteln, alsoσ=s/ n.
Bemerkungen
1. Die Normalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung, das bedeutet sie ist normiert
∫ ∞
N(x;µ,σ) dx= 1 und N(x;µ,σ) dx beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür,
−∞
einen Wert der Größe X innerhalb des Intervalls(x, x+ d x) zu finden, also
P x< X< x+ d x = N(x;µ,σ) dx. (33)
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