Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

Vorgehen:
1. Histogramm: Unterteile die x-Achse in k-Intervalle (Klassen) I 1 , I 2 , . . ., I k derart, dass jedes
Intervall mehr als 5. . . 10 Datenwerte enthält. Eventuell müssen Randklassen zusammengefasst
werden, damit diese Belegung zustandekommt. Dann bestimme man die Anzahl
Daten b j , die in jeder der Klassen I j liegen. Die Summe aller b j ergibt die Anzahl Daten
n= ∑ k
j=1 b j. Diese Bedingung wird die Zahl der Freiheitsgrade auf k−1 reduzieren.
2. Aus der hypothetischen Verteilungϕ(x) berechne man für jedes Intervall I j die Wahrscheinlichkeit
p j , mit der ein Datenpunkt einen Wert innerhalb des j-ten Intervalls annimmt.
Daraus berechne man die Anzahl der theoretisch in der Klasse I j erwarteten Datenwerte
e j = np j .
3. Bezüglich einer Klasse j sind die Häufigkeiten b j Binomialverteilt (Wahrscheinlichkeit, dass
bei n Messungen der Größe X der Messwert b j -mal in die Klasse j fällt). Nehmen wir nun
an es liegen genügend Messwerte in jeder Klasse vor (≥ 10, geschickte Klasseneinteilung
bei der Konstruktion des Histogramms wird also vorausgesetzt!), so dass gemäß Glg. (31)
die Häufigkeiten b j in jeder Klasse näherungsweise normalverteilt sind. Dann können wir
die Unsicherheit wie folgt abschätzen:∆b j ≈ np j = e j und berechnen die Abweichung
der Daten von der Hypothese gemäß:
k∑
χ 2 0 = (b j − e j ) 2
=
e j
j=1
k∑
j=1
b 2 j
e j
− n. (59)
4. Man wähle eine Signifikanzzahl (Vertrauensgrenze)α, z. B. 5%, 1%, oder ähnlich.
5. Mit Hilfe einer Tabelle derχ 2 -Verteilung mit k−1 Freiheitsgraden (siehe Anhang) bestimme
man das(1−α)-Quantilχ 2 1−α
, so dass mit der Wahrscheinlichkeit 1−α zufällige
Abweichungen der experimentellen Häufigkeiten von der theoretisch erwarteten Verteilung
kleiner sind alsχ 2 1−α : P(χ 2 ≤χ 2 1−α
)=1−α (60)
6. Istχ 2 0 ≤χ2 1−α , so wird die Hypothese angenommen. Ist hingegenχ2 0 >χ2 1−α
, so wird sie
verworfen, denn es besteht objektiv Grund zur Annahme, dass der Datensatz{x i } nicht mit
der Verteilungϕ(x) kompatibel ist.
Ein Beispiel:Mendels Erbsen
Folgendes ist eines der klassischen Experimente, die Gregor Mendel 1865 publizierte um seine
Vererbungstheorie zu bestätigen. Er untersuchte Erbsen um die dominant-rezessive Vererbung
einzelner Merkmale zu belegen. Dabei betrachtete er in einem bestimmten Experiment bei 556
Erbsen die Merkmale Form (rund oder kantig) und Farbe (grün oder gelb) und beobachtete
folgende Häufigkeiten der Merkmalskombinationen:
rund/gelb rund/grün kantig/gelb kantig/grün
315 108 101 32
32