Einführung in die Messdatenanalyse für das Physikalische ...

4 BeurteilendeDatenanalyse
Die Methoden der Naturwissenschaften sind geprägt von einem Wechselspiel aus systematischen
Naturbeobachtungen und daraus folgend der Entwicklung von Hypothesen und Theorien,
meist als mathematische Modelle formuliert, die dann wiederum durch weitere Experimente
und Beobachtungen überprüft werden. In diesem Zusammenhang ist es entscheidend, auf der
Grundlage vorliegender Messdaten trotz unvollständiger Information und vorhandenen Messunsicherheiten
zu objektiven Aussagen über die Vereinbarkeit von Theorie und experimentellen
Daten zu gelangen.
Bereits in der Fragestellung zeigt sich hier wieder der Unterschied zwischen der Herangehensweise
der konventionellen frequentistischen Statistik auf der einen Seite und der Bayes’schen
Statistik auf der anderen, die wir in den vorangegangenen Abschnitten bereits diskutiert haben:
Intuitiv wird man z. B. geneigt sein zu fragen: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist bei vorliegendem
Datensatz{x i } Theorie XY richtig?“ – Diese Frage lässt sich jedoch nur im Rahmen der
Bayes’schen Statistik sinnvoll stellen. Dort lässt sich auch einer Hypothese, einer Aussage wie
„Theorie XY trifft zu“ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, die dann keine relativen Häufigkeiten
angibt, sondern den Stand der vorliegenden Information abbildet, wie wir bereits in Abschnitt
3.2 gesehen haben.
Im Rahmen der konventionellen Statistik, die sich stets auf relative Häufigkeiten bezieht, wird
man deshalb die Frage eher indirekt stellen: „Angenommen Theorie XY ist richtig, wie groß ist
dann die Wahrscheinlichkeit, den vorliegenden Datensatz{x i } zu messen?“ Diese Frage bezieht
sich auf die Grundgesamtheit der Datensätze zur Größe X, deren relative Häufigkeiten wir im
Rahmen der konventionellen Statistik immerhin abschätzen können. Ist die resultierende Wahrscheinlichkeit
dann zu gering, werden wir die Theorie ablehnen, ist sie hoch werden wir geneigt
sein, das Modell zu akzeptieren.
Die Grundidee von Hypothesentests wollen wir anhand einiger Beispiele zunächst im Rahmen
der konventionellen frequentistischen Statistik erläutern. Abschnitt 4.3 gibt dann einen kleinen
Ausblick darauf, wie Hypothesentests auch im Rahmen der Bayes’schen Statistik durchgeführt
werden können.
4.1 Hypothesentestsin derkonventionellen Statistik
Unter einer Hypothese versteht man in der Datenanalyse eine Annahme über die Verteilung einer
Messgröße, z. B. die Annahme dass die Verteilung der Schwingungsdauer T eines Pendels den
Mittelwert T= 5.5s aufweist. Der Test einer Hypothese ist ein Prüfverfahren, das man anwendet,
um die Entscheidung zu objektivieren, ob eine bestimmte Hypothese mit den vorliegenden
Daten verträglich ist, oder nicht. Im ersten Fall wird die Hypothese angenommen, im zweiten
Falle verworfen, denn „es besteht ein objektiver Grund zur Annahme, dass die Daten nicht mit
der Hypothese verträglich sind“.
4.1.1 Hypothesentestineinereinfachen Situation
Wir betrachten die einfachste Variante eines solchen Tests und testen die Hypothese, wonach
eine gemessene physikalische Größe einen spezifischen Wert aufweisen soll:
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