Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

1.3 Relationen und Funktionen 11
Lemma 1.19 (Rechenregeln für Relationen). Seien R, S, T Relationen. Dann gilt
D(R −1 ) = W(R), W(R −1 ) = D(R),
(R −1 ) −1 = R,
T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R,
(S ◦ R) −1 = R −1 ◦ S −1 .
Beweis. Die ersten drei Behauptungen sind klar nach Definition. Für die vierte berechnen wir
(w, z) ∈ T ◦ (S ◦ R) ⇐⇒ ∃y (w, y) ∈ S ◦ R, (y, z) ∈ T
⇐⇒ ∃x, y (w, x) ∈ R, (x, y) ∈ S, (y, z) ∈ T
⇐⇒ ∃x (w, x) ∈ R, (x, z) ∈ T ◦ S
⇐⇒ (w, z) ∈ (T ◦ S) ◦ R.
Schließlich folgt die letzte Behauptung aus
(z, x) ∈ (S ◦ R) −1
⇐⇒ (x, z) ∈ S ◦ R
⇐⇒ ∃y (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ S
⇐⇒ ∃y (z, y) ∈ S −1 , (y, x) ∈ R −1
⇐⇒ (z, x) ∈ R −1 ◦ S −1 .
Beispiel 1.20.
• Sei M = N = Q. Wir betrachten die Relation
≤ := {(x, y) : x kleiner oder gleich y}.
(Hier schreibt man meist x ≤ y anstelle von (x, y) ∈≤.) Diese Relation ist reflexiv, antisymmetrisch
und transitiv. Allerdings ist sie weder eindeutig, noch eindeutig umkehrbar
noch symmetrisch.
• Sei M = N = Q. Die Relation
= := {(x, y) : x = y}
ist ebenfalls reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, und außerdem noch symmetrisch,
eindeutig und eindeutig umkehrbar.
• Sei E eine Menge und 2 E die Potenzmenge von E. Die Relation
⊆:= {(M, N) : M ⊆ N}
auf 2 E ist genau wie ≤ reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Allerdings bemerken
wir, dass für x, y ∈ Q entweder x ≤ y oder y ≤ x immer gilt, es jedoch Mengen M, N
geben kann, so dass weder M ⊆ N noch N ⊆ M gilt.
• Sei M = N = N 0 . Wir definieren
∼:= {(x, y) : |y − x| ist durch 3 teilbar}.
Diese Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, allerdings weder eindeutig, eindeutig
umkehrbar noch antisymmetrisch.