Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

2.2 Ordnung und Vollständigkeit der reellen Zahlen 25
Beispiel 2.14. Wir haben in Beispiel 1.20 gesehen, dass das übliche ’≤’ eine totale Ordnung
auf Q definiert. Weiter haben wir bemerkt, dass für eine Menge M die Relation ’⊆’ auf 2 M eine
Ordnung definiert. Diese ist jedoch nicht total; ist etwa M = {1, 2} sowie A = {1}, B = {2}
so ist weder A ⊆ B noch B ⊆ A.
Bemerkung 2.15. Für eine Ordnung ≤ auf einer Menge M schreiben wir natürlich m ≥ n
genau dann, wenn n ≤ m.
Definition 2.16 (Totale Ordnung auf R). Sei x := (x n ) n=1,2,... , y := (y n ) n=1,2,... ∈ R. Wir
setzen x ≤ y genau dann, wenn (y n −x n ) n=1,2,... ∈ N ∪P und x < y, falls (y n −x n ) n=1,2,... ∈ P.
Weiter setzen wir
R + := {x ∈ R : x ≥ 0} = {x = (x n ) n=1,2,... : (x n ) n=1,2,... ∈ N ∪ P}.
Lemma 2.17 (Eigenschaften der Ordnung auf R). Die Relation ’≤’ auf R ist eine totale
Ordnung. Seien x := (x n ) n=1,2,... ∈ R und y := (y n ) n=1,2,... ∈ R.
1. Es gilt eine der Relationen
x ≤ 0 oder − x ≤ 0.
Weiter ist x ≤ 0 und −x ≤ 0 genau dann, wenn x = 0.
2. Gilt x ≠ 0, so ist x n ≠ 0 für fast alle n ∈ N.
3. Aus 0 ≤ x und 0 ≤ y folgt 0 ≤ xy und 0 ≤ x + y.
4. Für jedes x ∈ R gibt es ein n ∈ N mit x ≤ n.
Beweis. 1. Angenommen, x := (x n ) n=1,2,... ist keine Nullfolge, d.h. x ≠ 0, und ε > 0. Dann
ist |x n | > ε für fast alle n. Da (x n ) n=1,2,... eine Cauchy-Folge ist, ist entweder x n > ε für
fast alle n oder x n < −ε für fast alle n. (Andernfalls wäre x n > ε für unendlich viele n und
x m < −ε für unendlich viele m. Andererseits gilt auch |x n − x m | < ε für m, n groß genug im
Widerspruch dazu.) Im ersten Fall gilt x ≥ ε, im zweiten Fall x ≤ −ε. Ist (x n ) n=1,2,... eine
Nullfolge, dann gilt sowohl −x ≤ 0, x ≤ 0 als auch x = 0.
2. Wie soeben gesehen, ist x ≠ 0 genau dann, wenn für jedes ε > 0 gilt, dass |x n | > ε für fast
alle n. Insbesondere ist dann x n ≠ 0 für fast alle n.
3. Diese Rechenregeln folgen bereits aus den entsprechenden Rechenregeln für rationale Zahlen,
da xy = (x n y n ) n=1,2,... und x + y = (x n + y n ) n=1,2,... .
4. Dies folgt bereits aus Lemma 2.3.
Lemma 2.18 (Rechnen mit Ungleichungen).
1. Für x, z ∈ R mit x < z gibt es y ∈ Q mit x < y < z. 6
2. Für x, z ∈ R mit x, z > 0 gibt es n ∈ N mit xn > z.
3. Für x, y ∈ R + mit x > 1 gibt es n ∈ N mit x n > y.
4. Für x, y ∈ R + mit x < 1 gibt es n ∈ N mit x n < y.
6 Wir schreiben x < y < z anstatt (x < y) ∧ (y < z).