Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

2.4 Überarzählbarkeit von R 31
Leider stimmt es aber nicht, dass jede mögliche Zahlenfolge (n i ) i=1,2,... in {0, 1} auch die
Binärdarstellung einer Zahl x ∈ [0, 1) liefert. In Bemerkung 2.27.2 haben wir nämlich festgestellt,
dass genau die Folgen in der Menge
nicht vorkommen können.
M := {(n i ) i=1,2,... : ∃N ∀k > N : n k = 1} (2.7)
Beweis von Proposition 2.30. 1. Wir beginnen mit der Gleichmächtigkeit von R und (0, 1).
Hierzu definieren wir die Abbildung 8
⎧
⎪⎨ R → (0,
{
1)
f :
1
⎪⎩ x ↦→
2 ex , x ≤ 0,
1 − 1 2 e−x , x > 0.
Diese ist offenbar eine Bijektion, und damit sind R und (0, 1) gleichmächtig.
Um die Gleichmächtigkeit von (0, 1) und [0, 1) zu zeigen, definieren wir
⎧
(0, 1) → [0, 1),
⎪⎨
⎧
g :
⎪⎨ 0, x = 1 2 ,
x ↦→ 2
⎪⎩
⎪⎩
−(n+1) , x = 2 −n für ein n = 1, 2, ...,
x, sonst.
Wir stellen fest, dass g eine Bijektion ist, was die Behauptung zeigt. Die Gleichmächtigkeit
von [0, 1) und (0, 1] ist klar, da x ↦→ 1−x eine Bijektion zwischen den beiden Mengen darstellt.
Die Gleichmächtigkeit von (0, 1] und [0, 1] zeigt man, indem man g mittels g(1) = 1 zu einer
Funktion (0, 1] → [0, 1] erweitert.
2. Wir verwenden die Beweisidee aus Bemerkung 2.31. Insbesondere haben wir dort bereits
gesehen, dass es eine Bijektion h : [0, 1) → 2 N \ M mit M aus (2.7) gibt. Wichtig ist es zu
bemerken dass die Menge M abzählbar ist. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, ist die
Menge der Primzahlen {2, 3, 5, ...} abzählbar. Es gibt also eine Bijektion {2, 3, 5...} → M. Mit
Hilfe dieser Bijektion erhalten wir nun auch eine Bijektion [0, 1) ∪ {2, 3, ...} → 2 N . Es bleibt
also zu zeigen, dass es eine Bijektion [0, 1) ∪ {2, 3, ...} → [0, 1) gibt. Diese lässt sich aber (mit
Hilfe desselben Tricks wie in der Definition von g) durch
⎧
[0, 1) ∪ {2, 3, 5, ...} → [0, 1),
⎪⎨
⎧
1
⎪⎨ p
, falls x = p ∈ {2, 3, 5, ...},
x
↦→ p
⎪⎩
⎪⎩
−(j+1) , falls x = p −j für ein p ∈ {2, 3, 5, ...} und j = 1, 2, ...,
x, sonst.
definieren. (Wir bemerken, dass wir in dieser Definition deswegen auf die Menge der Primzahlen
zurückgreifen, weil x = p −j nur für höchstens eine Primzahl p für ein j gilt.)
8 Wir setzen hier die Kenntnis der Exponentialfunktion voraus. Wir werden die genaue Definition später
nachliefern.