Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

1.5 Beweise 17
Beweis. Wir haben bereits gesehen, dass A ⇒ B äquivalent ist zu B ∨ ¬A. (Denn: beide
Aussagen bedeuten, dass es nicht sein kann, dass zwar A, aber B nicht gilt.) Genauso ist
¬B ⇒ ¬A äquivalent zu ¬A ∨ (¬¬B), was dasselbe ist wie ¬A ∨ B. Damit sind beide Seiten
äquivalent zu B ∨ ¬A, haben also insbesondere immer denselben Wahrheitswert.
Wir bringen ein zweites Beispiel eines indirekten Beweises. Ohne weitere Erläuterung werden
wir dabei bekannte Teilbarkeitsregeln für natürliche Zahlen verwenden.
Proposition 1.36 ( √ 2 /∈ Q). Es gibt kein x ∈ Q mit x 2 = 2.
Beweis in Skript-Version. Angenommen, es gäbe x ∈ Q mit x 2 = 2. Dann ist x = m/n für
m, n ∈ N. (Es ist auch m ≥ 0, da mit x 2 = 2 auch (−x) 2 = 2 gilt.) Durch Kürzen können
wir m und n so wählen, dass beide teilerfremd sind. Es gilt also m 2 = 2n 2 für teilerfremde
m, n ∈ N. Da 2 somit m 2 teilt, muss 2 auch m teilen. Es gibt also ein r ∈ N mit m = 2r und
damit 4r 2 = 2n 2 oder 2r 2 = n 2 . Genauso folgern wir, dass es ein s gibt mit n = 2s. Wir sehen,
dass 2 sowohl m als auch n teilt. Dies ist ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von m und n.
Also muss die Annahme x ∈ Q falsch gewesen sein. Es gibt also kein x ∈ Q mit x 2 = 2.
Beweis in Übungsblatt-Version.
Angenommen, ∃x ∈ Q : x 2 = 2.
⇒ ∃m, n ∈ N : m 2 /n 2 = 2; oBdA 4 m, n teilerfremd
⇒ ∃m, n ∈ N teilerfremd, m 2 = 2n 2
⇒ ∃r, m, n ∈ N : m = 2r, 4r 2 = 2n 2 und m, n teilerfremd, also auch 2r 2 = n 2
⇒ ∃r, s, m, n ∈ N : m = 2r, n = 2s und m, n teilerfremd
Also: ̸ ∃x ∈ Q : x 2 = 2.
Eine dritte Beweisart ist die der vollständigen Induktion. Sie funktioniert höchstens dann,
wenn wir eine Aussage der Form ∀n ∈ N A(n) beweisen wollen. Wir erinnern an die Definition
der natürlichen Zahlen nach Peano aus Beispiel 1.8.5. Wir haben gesehen, dass jede Menge
M ⊆ N, für die 1 ∈ M und n ∈ M ⇒ n+1 ∈ M gilt bereits die Menge der natürlichen Zahlen
sein muss. Daraus lesen wir direkt das Beweisprinzip der vollständigen Induktion ab:
Sei A(n) eine Aussage und M := {n : A(n) ist wahr}. Gilt
1. Induktionsanfang: A(1),
2. Induktionsschluss: A(n) ⇒ A(n + 1),
dann ist M = N, d.h. ∀n ∈ N A(n) ist wahr.
Wir verwenden dieses Beweisprinzip um ein paar Rechenregeln für Summen und Produkte
kennen zu lernen. Hierbei werden wir wieder jeweils zwei Beweise angeben, einen wie er in
einem Vorlesungsskript erscheinen könnte und einen zweiten, wie man ihn eventuell als Lösung
eines Übungsblattes verwenden würde.
Proposition 1.37. Für n ∈ N gilt
n∑
( ) n + 1
i = .
2
i=1
4 Diese vier Buchstaben bedeuten Ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Sie besagen, dass wir keinen Fehler
machen, wenn wir eine Annahme treffen.