Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

1.3 Relationen und Funktionen 13
Bemerkung 1.25. • Sei M = {1, ..., d} und N = Q. Dann wird jede Abbildung x : M →
N durch x 1 := x(1), ..., x d := x(d) ∈ Q definiert. Deshalb schreiben wir auch
Q d := N M = {(x 1 , ..., x d ) : x 1 , ..., x d ∈ Q}.
• Die Schreibweise N M erinnert eventuell an die Schreibweise 2 M für die Potenzmenge
von M aus Definition 1.9. Dies ist kein Zufall. Wir können nämlich 2 M bijektiv auf
{0, 1} M abbilden, indem wir
setzen.
⎧
2 M → {0, 1}
⎪⎨
⎧
M
⎪⎨ M →
{
{0, 1}
M ′ ↦→
1, x ∈ M
⎪⎩
⎪⎩
′
x ↦→
0, x /∈ M ′
Lemma 1.26 (Charakterisierung von Injektivität/Surjektivität). Sei F : M → N
eine Funktion.
• Die Funktion F ist genau dann injektiv, wenn es für alle y ∈ W(F ) genau ein x ∈ M
gibt mit F (x) = y. (Mit Quantoren: ∀y ∈ W(F )∃!x ∈ M : F (x) = y.)
• Die Funktion F ist genau dann surjektiv, wenn es für alle y ∈ N ein x ∈ M gibt mit
F (x) = y. (Mit Quantoren: ∀y ∈ N∃x ∈ M : F (x) = y.)
Beweis. Sei F injektiv und y ∈ W(F ). Nach Definition gilt dann F (x 1 ) = y, F (x 2 ) = y ⇒
x 1 = x 2 . Dies ist genau dann der Fall wenn es genau ein x ∈ M gibt mit F (x) = y.
Sei F surjektiv und y ∈ N. Nach Definition ist also y ∈ W(F ) und damit gibt es ein
x ∈ M mit F (x) = y. Die Umkehrung ist klar.
Lemma 1.27 (Kompositionen von injektiven und surjektiven Funktionen). Die
Komposition von Funktionen, Injektionen, Surjektionen, Bijektionen ist wieder eine Funktion,
Injektion, Surjektion, Bijektion.
Jede injektive Funktion F : M → N definiert eine Funktion F −1 : W(F ) → M mit
F ◦ F −1 = F −1 ◦ F =id. Ist F bijektiv, so ist F −1 : N → M.
Beweis. Seien F : M → N und G : N → O Funktionen. Sind F und G injektiv, so gibt es für
z ∈ W(G ◦ F ) ⊆ W(G) wegen der Injektivität von G genau ein y ∈ W(F ) ⊆ N mit G(y) = z.
Weiter gibt es wegen der Injektivität von F genau ein x mit F (x) = y. Insgesamt gibt es
also genau ein x mit (G ◦ F )(x) = G(F (x)) = z. Sind F und G surjektiv, so gibt es für jedes
z ∈ O ein y ∈ N mit G(y) = z und für jedes y ∈ N ein x ∈ M mit F (x) = y. Damit gibt es
also für jedes z ∈ O ein x ∈ M mit (G ◦ F )(x) = G(F (x)) = z. Die Behauptung für bijektive
Funktionen ist damit auch klar.
Ist F injektiv, so definieren wir F −1 (y) für y ∈ W(F ) durch F −1 (y) = x falls x ∈ M – das
wegen der Injektivität einzige x ∈ M ist – mit F (x) = y. In diesem Fall gilt (F −1 ◦ F )(x) =
F −1 (F (x)) = F −1 (y) = x sowie (F ◦ F −1 )(y) = F (F −1 )(y) = F (x) = y, woraus die restlichen
Behauptungen folgen.