Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

1.1 Aussagen und Mengen 7
8. Es gilt (A ∧ B) ⇐⇒ (B ∧ A) und (A ∨ B) ⇐⇒ (B ∨ A). Man spricht von der
Kommutativität von ∧ und ∨.
9. Es gilt (A ⇒ B) ⇐⇒ (B ∨ ¬A). Denn A ⇒ B bedeutet, dass es nicht sein kann, dass
B nicht gilt, A aber schon, also ¬(¬B ∧ A). Wendet man nun Lemma 1.5 an, erhält
man die Behauptung.
10. Es gilt ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C). Man spricht von der Transitivität von ⇒.
Dies lässt sich mit dem letzten Beispiel auch einfach beweisen, nämlich so:
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)
9.
⇐⇒ (B ∨ ¬A) ∧ (C ∨ ¬B)
6.
⇐⇒ (B ∧ C) ∨ (B ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬B)
=⇒ C ∨ (¬A ∧ C) ∨ ¬A
=⇒ ¬A ∨ C
⇐⇒ A ⇒ C.
Wir führen nun den Begriff der Menge ein. Allerdings wollen wir nicht sagen, was der – in der
Definition wichtige – Begriff der sinnvollen Aussage genau ist. Mit anderen Worten führen
wir hier nur einen naiven Mengenbegriff ein. Will man Mengen axiomatisch genau definieren,
führt das auf das Zermelo-Fraenkel’sche Axiomensystem, auf das wir hier nicht eingehen. In
der Praxis sind die allermeisten Aussagen sinnvoll, so dass wir keine Schwierigkeiten mit dem
naiven Mengenbegriff erwarten.
Definition 1.7 (Menge). Sei A = A(x) eine “sinnvolle” Aussage, die von einer Variablen
x abhängt. Dann bezeichnen wir mit 3
M := {x : A(x) ist wahr}
die Menge aller x, für die A(x) gilt. Noch kürzer setzen wir
M := {x : A(x)}.
Wir schreiben x ∈ M genau dann, wenn A(x) wahr ist. Es bedeutet x /∈ M dasselbe wie
¬(x ∈ M) oder auch, dass A(x) falsch ist.
Beispiel 1.8.
• Die Menge ∅ := {x : x ≠ x} ist die leere Menge.
• Die natürlichen Zahlen N kann man nach Peano axiomatisch etwa so definieren:
– 1 ist eine natürliche Zahl.
– Jede natürlich Zahl n hat genau einen Nachfolger, genannt n + 1.
– Die Eins hat keinen Vorgänger.
– Enthält eine Menge M die Eins und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren
Nachfolger, so ist M bereits die Menge der natürlichen Zahlen.
3 Zur Notation: wir unterscheiden in der Mathematik das Gleichheitszeichen “=” vom Zeichen “:=”, das das
Symbol auf der “:”-Seite (das sogenannte Definiendum) durch das Objekt auf der anderen Seite (das Definiens)
definiert. Sind nämlich x für die A(x) wahr ist bereits bekannt, definieren wir hiermit die Menge M aller dieser
Elemente.