Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

4.2 Konvergenzkriterien 41
4.2 Konvergenzkriterien
Wir wollen nun hinreichende Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe aufstellen. Hierbei
werden uns die schon bewiesenen Aussagen über Folgen helfen. Ein oft verwendetes Kriterium
ist das Leibniz-Kriterium (Theorem 4.10) für alterniernede Reihen.
Lemma 4.5 (Cauchy-Kriterium). Sei (x n ) n=1,2,... eine Folge reeller Zahlen. Dann konvergiert
∑ ∞
n=1 x n genau dann, wenn es für alle ε > 0 ein N ∈ N gibt, so dass für alle m > n > N
gilt, dass
|s n − s m | = |x m+1 + · · · x n | < ε.
Beweis. Klar nach Proposition 3.15.
Das Cauchy-Kriterium liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz
von Reihen. Nun möchten wir auf eine weitere notwendige (aber nicht hinerichende; siehe
Proposition 4.3) Bedingung für die Konvergenz einer Reihe hinweisen.
Lemma 4.6 (Notwendige Bedingung für Konvergenz). Sei (x n ) n=1,2,... eine Folge reeller
Zahlen, so dass ∑ ∞
n=1 x n→∞
n konvergiert. Dann gilt x n −−−→ 0.
Beweis. Sei s N := ∑ N
n=1 x N→∞
n, also s N −−−−→ s für ein s ∈ R. Wir verwenden Proposition 3.7
mittels
lim x N = lim s N − s N−1 = s − s = 0.
N→∞ N→∞
Damit ist die Behauptung gezeigt.
Lemma 4.7. Sei (x n ) n=1,2,... eine R + -wertige Folge. Dann konvergiert ∑ ∞
n=1 x n genau dann,
wenn die Folge der Partialsummen, ( ∑ N
n=1 x n) N=1,2,... beschränkt ist, also wenn ∑ ∞
n=1 x n <
∞.
Beweis. Klar nach Proposition 3.5.
Proposition 4.8. Sei s > 0. Dann gilt
{
∞∑ 1 = ∞, falls s ≤ 1,
n s < ∞, falls s > 1.
n=1
Beweis. Sei zunächst s ≤ 1. Dann ist 1/n s ≤ 1/n, also ∑ N
n=1 1/ns ≥ ∑ N N→∞
n=1
1/n −−−−→ ∞.
Damit ist die Divergenz im Fall s ≤ 1 gezeigt. Für s > 1 sei N ∈ N. Wir schreiben
2∑
N −1
n=1
1
( 1
n s = 1 + 2 s + 1 ) ( 1
3 s +
4 s + · · · + 1 )
7 s + · · ·
≤ 1 + 2 · 1
2 s + 4 · 1
4 s + · · · + 2N−1 ·
(
1
+
(2 N−1 ) s + 1
(2 N−1 + 1) s + · · · + 1
)
(2 N − 1) s
1
2 s(N−1)
= 1 + 2 −(s−1) + (2 −(s−1) ) 2 + · · · + (2 −(s−1) ) N−1 =
N−1
∑
n=0
2 −(s−1)
N→∞ 1
−−−−→
1 − 2 −(s−1)
nach Proposition 4.2. Insbesondere ist die linke Seite endlich, woraus die Konvergenz folgt.