Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

5.1 Metrische Räume 51
(A)
(B)
f(x)
f(x)
f(x 0 )+ε
f(x 0 )
f(x 0 )−ε
f(x 0 )+ε
f(x 0 )
f(x 0 )−ε
●
x 0
x 0 −δ x 0 +δ
x
x 0
x 0 −δ x 0 +δ
x
Abbildung 5.1: (A) Die hier abgebildete Funktion f ist stetig in x 0 . Schließlich liegen alle
Funktionswerte von x ∈ [x 0 −δ, x 0 +δ] in [f(x 0 )−ε, f(x 0 )+ε]. (B) Die Funktion ist unstetig
in x 0 .
wobei wir im vorletzten ≤ die aus der linearen Algebra bekannte Cauchy-Schwartz’sche
Ungleichung verwendet habe. Dividieren wir durch r(x, z), ist die Dreiecksungleichung
gezeigt. Die in 1. und 2. eingeführte Metrik heißt auch euklidische Metrik.
3. Auf einer beliebigen Menge E definieren wir die Abbildung r : E × E → R + mittels
{
0, falls x = y,
r(x, y) =
.
1, sonst.
Diese Abbildung ist eine Metrik, denn die Definitheit und Symmetrie sind offensichtlich,
und für die Dreiecksungleichung gilt im Fall x ≠ z, dass r(x, z) = 1 ≤ r(x, y) + r(y, z),
da entweder x ≠ y oder y ≠ z. Die Metrik r heißt auch diskrete Metrik.
Definition 5.3 (Konvergenz in metrischen Räumen). Sei (E, r) ein metrischer Raum,
x ∈ E und (x n ) n=1,2,... eine E-wertige Folge. Dann schreiben wir lim n→∞ x n = x oder auch
n→∞
−−−→ x, falls lim n→∞ r(x n , x) = 0.
x n
Beispiel 5.4. Wir verwenden wie üblich die euklidische Metrik auf R. Hier gilt also x n −−−→
x genau dann, wenn x n −x −−−→ n→∞ 0, was konsistent mit früher gelerntem ist. Durch Änderung
der Metrik bekommen wir einen anderen Konvergenzbegriff. Ist nämlich 11 r(x, y) = 1 x≠y wie
in Beispiel 5.2.3, so ist r(x n , x) −−−→ n→∞ 0 genau dann, wenn x n = x für fast alle n gilt.
n→∞
Definition 5.5 (Stetigkeit). Seien (E, r) und (E ′ , r ′ ) metrische Räume. Dann heißt eine
Funktion f : E → E ′ stetig in x 0 ∈ E, falls es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass
r ′ (f(x 0 ), f(y)) < ε für alle y ∈ E mit r(x 0 , y) < δ. In Quantorenschreibweise:
{
11 1, falls x ≠ y
Hier setzen wir 1 x≠y :=
0, sonst.