Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

4.3 Absolute Konvergenz von Reihen 43
2. Divergiert ∑ ∞
n=1 x n, so divergiert auch ∑ ∞
n=1 y n.
Beweis. Es genügt 1. zu zeigen. Sei ε > 0. Da ∑ ∞
n=1 y n konvergiert, gibt es mit dem Cauchy-
Kriterium für Reihen (Lemma 4.5) ein N ′ ≥ N, so dass ∑ m ′
n=m y n < ε für m ′ > m ≥ N ′ gilt.
Daraus folgt auch ∣ ∑ m ′
n=m x n∣ ≤ ε. Mit anderen Worten erfüllt auch ∑ ∞
n=1 x n das Cauchy-
Konvergenzkriterium. Außerdem gilt
∣
∞∑ ∣ ∣∣
x n =
n=N
lim
M→∞
∣
M∑ ∣ ∣∣
x n ≤
n=N
lim
M→∞
n=N
M∑
y n =
∞∑
y n .
n=N
Beispiel 4.13.
1. Für 0 < x < 1 konvergiert die Reihe
∞∑
x (n2) .
n=1
Es gilt nämlich n 2 > n für alle n und damit x n2 ≤ x n . Außerdem haben wir in Proposition
4.2 die Konvergenz von ∑ ∞
n=1 xn gezeigt.
2. Es gilt
∞∑
n=1
1
√
n(n + 1)
= ∞,
1
denn √ ≥ 1
n(n+1) 2n und ∑ ∞
n=1 1
2n
= ∞ nach Proposition 4.3.
Korollar 4.14. Eine absolut konvergente Reihe ∑ ∞
n=1 x n ist auch konvergent.
Beweis. Wir wenden das Majorantenkriterium mit y n := |x n | an. Da die Reihe absolut konvergiert,
folgt aus Theorem 4.12.1 direkt dass auch ∑ ∞
n=1 x n konvergiert.
Theorem 4.15 (Quotientenkriterium). Sei ∑ ∞
n=1 x n eine Reihe und x n ≠ 0 für fast alle
n. Außerdem existiere
q := lim ∣ x ∣
n+1 ∣∣.
Dann gilt:
n→∞
1. Ist q < 1, so konvergiert die Reihe absolut.
2. Ist q > 1, so divergiert die Reihe.
Beweis. 1. Sei ˜q so, dass q < ˜q < 1. Dann gilt |x n+1 /x n | < ˜q für fast alle n. Also gibt es ein
N, so dass für n > N
Mit
x n
|x n+1 | ≤ ˜q|x n | ≤ ˜q 2 · · · |x n−1 | ≤ · · · ≤ ˜q n−N |x N |.
∞∑
∞∑
|x N |˜q n−N = |x N | · ˜q n < ∞
n=N
und dem Majorantenkriterium folgt die Behauptung.
2. Sei ˆq so, dass 1 < ˆq < q. Wegen lim n→∞
∣
∣xn+1 /x n
∣ ∣ > ˆq gilt |xn+1 | > ˆq|x n | für fast alle n.
Insbesondere ist (x n ) n=1,2,... keine Nullfolge und die Behauptung folgt aus Lemma 4.6.
n=0