Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

1.2 Quantoren 9
Bemerkung 1.12. Typischerweise werden als Variablen x, ... nur Elemente einer Menge zugelassen.
Dann schreiben wir etwa ∀x ∈ M : A(x, ...).
Beispiel 1.13.
• Sei C(x) : ∃m ∈ Z ∃n ∈ N : x = m/n. Dann ist
die Menge der rationalen Zahlen.
Q := {x : C(x)} = {x = m/n : m ∈ Z, n ∈ N}
• Die Aussage ∀x ∈ N ∃y ∈ Z : x = y ist wahr.
• Die Aussage ∀x ∈ Q ∃y ∈ Q : y = x 2
ist wahr.
• Die Aussage ∀x ∈ Q ∃y ∈ Q : y 2 = x ist falsch. (Zum Beweis siehe Proposition 1.36)
Beispiel 1.14 (Natürliche Zahlen). Wir greifen noch einmal die Definition der natürlichen
Zahlen aus Beispiel 1.8 auf. Mit Quantoren schreibt sich die Definition der natürlichen Zahlen
so:
• 1 ∈ N (Eins ist eine natürliche Zahl.)
• ∀n ∈ N ∃! m ∈ N : n + 1 = m (Jede natürlich Zahl hat einen Nachfolger.)
• ∀m, n ∈ N : m + 1 = n + 1 ⇐⇒ m = n (Nachfolger sind eindeutig.)
• ¬(∃n ∈ N : n + 1 = 1) (Die Eins hat keinen Vorgänger.)
• ∀M : ((M ⊆ N) ∧ (1 ∈ M) ∧ (n ∈ M ⇒ n + 1 ∈ M)) ⇒ M = N (Enthält eine Menge M
die Eins und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger, so ist M bereits die
Menge der natürlichen Zahlen.)
Lemma 1.15 (Gesetze für Quantoren). Seien A(x, y, ...) und B(x, y, ...) Aussagen, die
von Variablen x, y, ... abhängen. Dann gilt
∀x∀yA(x, y, ...) ⇐⇒ ∀y∀xA(x, y, ...),
∃x∃yA(x, y, ...) ⇐⇒ ∃y∃xA(x, y, ...),
¬(∀xA(x, ...)) ⇐⇒ ∃x(¬A(x, ...)),
¬(∃xA(x, ...)) ⇐⇒ ∀x(¬A(x, ...)).
Beweis. Die ersten beiden Aussagen sind klar. Für die dritte stellen wir fest, dass
¬(∀xA(x, ...)) genau dann gilt, wenn A(x, ...) nicht für alle x gilt, es also mindestens ein x
gibt, für das A(x, ...) falsch ist. Das bedeutet, dass ∃x(¬A(x, ...)) gilt. Die letzte Aussage folgt
aus der vorletzten, wenn man dort anstelle von A(x, ...) die Aussage ¬A(x, ...) einsetzt.
Bemerkung 1.16. • Wir schreiben ∀x, yA(x, y, ...) anstelle von ∀x∀yA(x, y, ...). Die erste
Zeile des Lemmas zeigt, dass hiermit keine Verwechslungen zu befürchten sind.
• Man kann sicher noch weitere Regeln für das Rechnen mit Quantoren aufstellen. Es ist
jedoch etwas Vorsicht geboten. Etwa gilt
(∀xA(x, ...)) ∧ (∀xB(x, ...)) ⇐⇒ ∀x(A(x, ...) ∧ B(x, ...)),