Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

2.1 Konstruktion der reellen Zahlen 21
2.1 Konstruktion der reellen Zahlen
Die Konstruktion der reellen Zahlen ist der erste große mathematische Meilenstein der Vorlesung.
Zentral bei unserer Konstruktion ist der Begriff der Cauchy- und der Nullfolge. Wir
erinnern daran, dass Folgen rationaler Zahlen wie in Bemerkung 1.22 durch (x n ) n=1,2,... gegeben
sind.
Definition 2.1 (Cauchy-Folgen und Null-Folgen). Sei (x n ) n=1,2,... eine Folge rationaler
Zahlen.
• Die Folge (x n ) n=1,2,... heißt Cauchy-Folge (oder Fundamentalfolge), falls es für jedes
ε > 0 (und ε ∈ Q) ein N ∈ N gibt, so dass für alle m, n > N gilt, dass
In Quantorenschreibweise bedeutet dies
|x n − x m | < ε.
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m, n > N : |x n − x m | < ε.
Wir definieren die Menge der Cauchy-Folgen durch
C := {(x n ) n=1,2,... Cauchy-Folge}.
• Die Folge (x n ) n=1,2,... heißt Null-Folge falls es für jedes ε > 0 (und ε ∈ Q) ein N ∈ N
gibt mit |x n | < ε für alle n ≥ N. In Quantorenschreibweise bedeutet das
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : |x n | < ε.
Wir definieren die Menge der Null-Folgen durch
N := {(x n ) n=1,2,... Null-Folge}.
(Es sollte klar sein, dass N C, d.h. jede Nullfolge ist eine Cauchy-Folge, aber es gibt
jedoch Cauchy-Folgen, die keine Nullfolgen sind.)
• Eine Cauchy-Folge heißt positiv, wenn es ein ε > 0 und ein N ∈ N gibt mit x n > ε für
alle n ≥ N. Wir sagen auch: Für fast alle n, (d.h. für alle bis auf endlich viele n) gilt
x n > ε. Wir definieren die Menge der positiven Cauchy-Folgen durch
P := {(x n ) n=1,2,... positive Cauchy-Folge}.
Bemerkung 2.2 (Notation: Maximum, Minimum und Mengenschreibweise). 1.
Sei M ⊆ Q mit |M| < ∞, d.h. M ist eine endliche Teilmenge von Q. Dann schreiben
wir
min M := x ⇐⇒ (x ∈ M) ∧ ∀y ∈ M : x ≤ y,
(2.1)
max M := x ⇐⇒ (x ∈ M) ∧ ∀y ∈ M : y ≤ x.
Weiter gilt min M = − max(−M) und max M = − min(−M), wobei −M := {−x : x ∈
M}. Für Zahlen x, y ∈ Q schreiben wir
a ∧ b := min{a, b},
a ∨ b := max{a, b}.
Später werden wir diese Schreibweisen auch für reelle (also nicht notwendigerweise rationale)
Zahlen benutzen.