Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

4.4 Unbedingte Konvergenz 45
2. Falls
x n+1
x n
für fast alle n gilt, so ist die Reihe divergent.
≥ 1 − 1 n
Beweis. 1. OBdA ist x n ≥ 0 und nx n+1 ≤ (n − 1)x n − (d − 1)x n für alle n = 1, 2, ... Insbesondere
ist (nx n+1 ) n=0,1,2,... eine fallende, nach unten durch 0 beschränkte Folge, die also nach
Theorem 3.13 gegen ein y ≥ 0 konvergiert. Weiter können wir schreiben
lim
N∑
N→∞
n=1
x n ≤ 1
d − 1 lim
N∑
N→∞
n=1
nx n+1 − (n − 1)x n = lim
N→∞ Nx N+1 = y,
woraus die absolute Konvergenz von ∑ ∞
n=1 x n mit dem Majorantenkriterium folgt.
2. OBdA ist x n ≥ 0 und nx n+1 ≥ (n−1)x n für alle n = 1, 2, ... Also ist die Folge (nx n+1 ) n=0,1,...
wachsend, also gibt es ein y > 0 mit x n+1 ≥ y/n. Nun folgt mit dem Majorantenkriterium
und der Divergenz der harmonischen Reihe die Behauptung.
Beispiel 4.20. 1. Wir haben bereits gesehen, dass die Reihe ∑ ∞
n=1 1 zwar konvergiert,
n 2
jedoch weder das Quotienten- noch das Wurzelkriterium diese Konvergenz zeigen. Wir
schreiben nun
1/(n + 1) 2
1/n 2 =
n 2
(n + 1) 2 = 1
1 + 2/n + 1/n 2 ≤ 1
∞
1 + 2/n = ∑
(− 2 n )k ≤ 1 − 2 n + 4 n 2 .
Da 4/n 2 ≤ 1/2n für fast alle n gilt, gilt für dieselben n auch 1/(n+1)2
1/n 2 ≤ 1 − 3/(2n).
Damit können wir das Konvergenzkriterium von Raabe verwenden, um die Konvergenz
der Reihe zu zeigen.
2. Genauso können wir mit Hilfe des Konvergenzkriteriums von Raabe die Divergenz von
∑ ∞
n=1 1 n zeigen. Es ist nämlich 1/(n + 1)
k=0
1/n
= 1
1 + 1 n
≥ 1 − 1 n .
4.4 Unbedingte Konvergenz
Oftmals kann man Reihen umordnen. Das bedeutet, dass man die einzelnen Summanden
in anderer Reihenfolge durchläuft. Zwar ist man von endlichen Summen gewohnt, dass eine
Änderung der Summationsreihenfolge nichts am Ergebnis der Summe ändert, jedoch überträgt
sich diese Eigenschaft nicht notwendigerweise auf unendliche Summen. Wir führen nun die
Menge der Reihen ein, bei denen Umordnung nichts am Grenzwert der Reihe ändert.
Definition 4.21 (Unbedingte Konvergenz). Die Reihe ∑ ∞
n=1 x n konvergiert unbedingt,
wenn es ein x ∈ R gibt, so dass für jede Bijektion σ : N → N gilt dass ∑ ∞
n=1 x σ(n) = x.
Beispiel 4.22. Betrachten wir die Reihe s = ∑ ∞
n=1 (−1)n /n und schreiben s n als die n-te
Partialsumme. Diese Reihe konvergiert nach Theorem 4.10. Allerdings konvergiert sie nicht
unbedingt.