Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

4.4 Unbedingte Konvergenz 47
da nach ’Überspringen’ von x von oben (von unten) als nächstes positive (negative) Folgenglieder
addiert werden. Hieraus folgt die Konvergenz x = ∑ ∞
n=1 x σ(n).
1. Sei zunächst ∑ ∞
n=1 x n absolut konvergent und x = ∑ ∞
n=1 x n. Weiter sei σ : N → N eine
Bijektion und ε > 0. Zunächst wählen wir N groß genug, so dass ∑ ∞
∣
n=N |x n| < ε/3 sowie
∣x − ∑ N ∣ < ε/3 und N ′ groß genug, so dass {σ(1), ..., σ(N ′ )} ⊇ {1, ..., N}. Dann gilt
n=1 x n
∣
∣x −
∞∑ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣x ∑
N ∣ ∣ ∣∣ ∣∣ ∑N ′
x σ(n) ≤ − x n + x σ(n) −
n=1
n=1
≤ ε/3 + 2
∞∑
n=N+1
n=1
|x n | < ε.
N∑ ∣ ∣∣
x n +
n=1
∞ ∑
n=N+1
Daraus folgt die unbedingte Konvergenz. Andersherum können wir voraussetzen, dass
∑ ∞
n=1 x n konvergiert. Wir zeigen, dass die Reihe nicht unbedingt konvergiert, wenn die Reihe
nicht absolut konvergiert. Dies folgt jedoch direkt aus 2.
Bemerkung 4.24 (Notation: Summation über Mengen). Bisher haben wir die Summenschreibweise
∑ ∞
n=1 x n verwendet. Im Falle der unbedingten Konvergenz wissen wir außerdem,
dass es für den Grenzwert dieser Reihe keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge die
Folgenglieder der Folge (x n ) n=1,2,... aufsummiert werden. Um dies zu verdeutlichen, werden
wir nun auch ∑ n∈N x n schreiben. Allgemeiner sei I ⊆ N und k 1 , k 2 , ... eine Abzählung von I.
Dann schreiben wir
∑ ∞∑
x n := x kn ,
n∈I
wenn die Summationsreihenfolge keine Rolle spielt, die Reihe ∑ ∞
n=1 x k n
also unbedingt konvergent
ist.
Theorem 4.25 (Großer Umordnungssatz). Sei ∑ ∞
n=1 x n eine unbedingt konvergente (also
nach Proposition 4.23 eine absolut konvergente) Reihe, sowie I 1 , I 2 , ... ⊆ N paarweise disjunkt
mit ⋃ ∞
k=1 I k = N. Dann konvergiert sowohl jedes s k := ∑ ∑ n∈I k
x n , k = 1, 2, ..., als auch
∞
k=1 s k absolut und es gilt
n=1
|x n |
∞∑
x n =
n=1
∞∑ ∑
k=1
n∈I k
x n . (4.1)
Beweis. Da ∑ ∞
n=1 |x n| < ∞ nach Voraussetzung, gilt auch ∑ n∈I k
|x n | < ∞ (nach dem Majorantenkriterium)
und damit die Existenz jedes s k , k = 1, 2, ... Weiter wählen wir I 1 ′ =
I 1 \ {N 1 , N 1 + 1...}, I 2 ′ = I 2 \ {N 2 , N 2 + 1, ...}, ... endlich, so dass ∑ n∈I k \I k
′ |x n | < ε2 −k . Dann
gilt
∞∑
|s k | =
k=1
∞∑
∑ ∣ ∣∣
∑
∞ ∑
∣ x n = ∣ x n +
n∈I k
k=1
k=1
n∈I ′ k
∑
n∈I k \I ′ k
∣ ∣∣
∑
∞ ∞∑
x n ≤ |x n | + ε 2 −k =
n=1
k=1
∞∑
|x n | + ε < ∞.
Hieraus folgt die absolute Konvergenz von ∑ ∞
k=1 s k. Es bleibt noch, (4.1) zu zeigen. Sei ε > 0
und N so groß, dass ∑ ∞
n=N+1 |x n| < ε. Weiter finden wir ein K, so dass ⋃ K
k=1 I′ k
⊇ {1, ..., N}
n=1