Analysis I - Abteilung für Mathematische Stochastik

2.3 Darstellung reeller Zahlen 29
Beweis von Proposition 2.25. Klar ist, dass y − [y] ∈ [0, 1) für alle y ∈ R + . Deshalb ist
[10 i x] − 10[10 i−1 x] = [10(10 i−1 − [10 i−1 x])] ∈ {0, ..., 9} und (x n ) n=0,1,2,... ist eine wachsende
Folge rationaler Zahlen. Weiter ist für m ≥ n
|x m − x n | =
m∑
i=n+1
n i 10 −i ≤ 9
m−n
∑
= 9 · 10 −n+1
= 10 −n
i=0
m∑
i=n+1
10 −i
10 −i ≤ 9 · 10 −n+1 1
1 − 10 −1
nach Proposition 1.38. Da es zu jedem ε > 0 nach Lemma 2.18.4 ein N gibt mit 10 −N < ε
folgt, dass (x n ) n=0,1,2,... eine Cauchy-Folge ist.
Um zu zeigen dass x = (x n ) n=0,1,2,... , zeigen wir x n = 10 −n [10 n x]). Diese Aussage ist für
n = 0 klar. Gilt sie für ein n, so folgern wir
x n+1 = x n+1 − x n + x n = ([10 n+1 x] − 10[10 n x])10 −(n+1) + 10 −n [10 n x])
= 10 −(n+1) [10 n+1 x],
woraus die Aussage nach vollständiger Induktion für alle n = 0, 1, 2, ... folgt. Damit ist auch x−
x n = 10 −n (10 n x−[10 n x]) ≤ 10 −n , also (x−x n ) n=0,1,2,... ∈ N und somit x = (x n ) n=0,1,2,... .
Bemerkung 2.27 (Was ist 0.999 · · · ?). 1. Seien n 0 , n 1 , ... die Koeffizienten der Dezimaldarstellung
einer Zahl x ∈ [0, 10). Es stellt sich die Frage, ob alle Möglichkeiten für diese
Koeffizienten vorkommen können. Sei also etwa n 0 = 0, n 1 = n 2 = n 3 = · · · = 9. Ist
dann 0, 999 · · · die durch Proposition 2.25 gewonnene Darstellung einer Zahl x ∈ [0, 10)?
Nein! Um dies zu verstehen betrachten wir die Cauchy-Folge (x n ) n=1,2,... mit x n =
1 − 10 −n , was genau der Definition von x n in (2.6) für n 0 = 0, n 1 = n 2 = n 3 = · · · = 9
entspricht. Klar ist, dass (1 − x n ) n=1,2,... ∈ N ist, woraus folgt, dass 1 = (x n ) n=1,2,... .
Wäre nun 0.999 · · · die Dezimaldarstellung einer Zahl x ∈ [0, 10), so haben wir gesehen
dass x = 1 gelten muss. Die Darstellung der 1 ist jedoch n 0 = 1, n 1 = n 2 = n 3 = · · · = 0.
Insbesondere gibt es kein x ∈ [0, 10) mit der Dezimalzahldarstellung 0.999 · · · .
2. Es stellt sich nach 1. die Frage, welche Folgen (x n ) n=0,1,2,... aus (2.6) mit n 0 , n 1 , ... ∈
{0, ..., } nicht als Dezimalzahldarstellung eines x ∈ [0, 10) auftreten können. Hier übelegt
man sich, dass genau die Folgen
nicht vorkommen können.
M := {(n i ) i=0,1,2,... : ∃N ∀k > N : n k = 9}
Bemerkung 2.28 (Erweiterungen). 1. Der Einfachheit halber haben wir in Proposition
2.25 die Darstellung im Dezimalsystem nur für x ∈ [0, 10) angegeben. Natürlich ist
klar, dass es auch für beliebige x ∈ R eine solche Darstellung gibt. Der Unterschied ist
nur, dass die Zahl vor dem Komma im Allgemeinen aus mehr als einer Stelle besteht.
2. Man kann jedes x ∈ R auch zu jeder beliebigen anderen Basis (die nicht unbedingt
10 sein muss) darstellen. Hierzu muss man lediglich eine Basis a ∈ {2, 3, ...} wählen