Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Ist g eine (stetige) Funktion von R n nach R und sind X 1 , . . .,X n Zufallsvariablen, dann ist
g(X 1 , . . .,X n ) ebenfalls eine Zufallsvariable. Sind die Zufallsvariablen X 1 , . . .,X n gemeinsam
stetig verteilt mit Dichte f, so erhält man den zugehörigen Erwartungswert E(g(X 1 , . . .,X n ))
durch
∫ ∞
∫ ∞
E(g(X 1 , . . .,X n )) = . . . g(x 1 , . . .,x n )f(x 1 , . . .,x n )dx 1 . . .dx n ,
−∞ −∞
falls
∫ ∞
−∞
∫ ∞
. . . |g(x 1 , . . .,x n )|f(x 1 , . . ., x n )dx 1 . . .dx n < ∞.
−∞
Wir betrachten nun den Fall n = 2 ausführlicher. Sei X = X 1 und Y = X 2 . Sind X und
Y gemeinsam stetig verteilt mit Dichte f, so gilt
(∫ ) (∫ )
P(X ∈ I 1 , Y ∈ I 2 ) = f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy.
∫I 1 I 2
∫I 2 I 1
Insbesondere gilt für beliebige a und b
∫ a
(∫ b
P(X ≤ a, Y ≤ b) =
Damit folgt
mit
−∞
f(x, y)dy
−∞
P(X ≤ a) = P(X ≤ a, Y < ∞) =
=
∫ a
−∞
f X (x)dx
f X (x) =
∫ ∞
−∞
) ∫ b
(∫ a
)
dx = f(x, y)dx dy.
−∞ −∞
∫ a
−∞
f(x, y)dy.
(∫ ∞
)
f(x, y)dy dx
−∞
Die Dichte von X ist also durch die sogenannte Randdichte f X gegeben. Analog erhält
man
P(Y ≤ b) =
∫ b
−∞
f Y (y)dy mit f Y (y) =
∫ ∞
−∞
f(x, y)dx.
Die folgende Definition ist die gleiche wie für diskrete Zufallsvariable.
Definition 4.5.3 X und Y seien Zufallsvariablen mit
Dann heißt
die Kovarianz von X und Y . Die Größe
heißt Korrelationskoeffizient von X und Y .
E(X 2 ) < ∞ und E(Y 2 ) < ∞.
Kov(X, Y ) = E [(X − E(X))(Y − E(Y ))]
ρ(X, Y ) = Kov(X, Y )
σ(X)σ(Y )
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