Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

N(0, 1)-verteilt. Diese Verteilung heißt Standard Normalverteilung. Die Dichte der Standard
Normalverteilung wird üblicherweise mit φ bezeichnet.
φ(x) = 1 √
2π
e − x2
2 .
Abbildung 4.1: Die Standard Normal Dichte
Die zugehörige Verteilungsfunktion wird mit Φ bezeichnet. Also
Es gilt
und
Φ(x) =
∫ x
−∞
φ(u)du = 1 √
2π
∫ x
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
−∞
P(−z ≤ Z ≤ z) = 2Φ(z) − 1.
e − u2
2 du.
Die Funktion Φ läßt sich nicht explizit darstellen, sondern muß numerisch berechnet
werden. Es gilt
P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0.68,
und
P(−2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0.95
P(−3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 0.997.
Wie schon oben erwähnt, ist sie überall tabelliert und in jedem guten Taschenrechner
verfügbar. Ist X N(µ, σ 2 )-verteilt, so gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion F
( X − µ
F(x) = P(X ≤ x) = P ≤ x − µ ) ( ) x − µ
= Φ .
σ σ σ
Damit erhalten wir insbesondere die sogenannten 1-σ, 2-σ und 3-σ Regeln:
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) ≈ 0.68,
und
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0.95
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≈ 0.997.
Wie bereits früher gezeigt, spielt die Normalverteilung als approximierende Verteilung
eine zentrale Rolle.
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