Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten
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N(0, 1)-verteilt. Diese Verteilung heißt Standard Normalverteilung. Die Dichte der Standard<br />
Normalverteilung wird üblicherweise mit φ bezeichnet.<br />
φ(x) = 1 √<br />
2π<br />
e − x2<br />
2 .<br />
Abbildung 4.1: Die Standard Normal Dichte<br />
Die zugehörige Verteilungsfunktion wird mit Φ bezeichnet. Also<br />
Es gilt<br />
<strong>und</strong><br />
Φ(x) =<br />
∫ x<br />
−∞<br />
φ(u)du = 1 √<br />
2π<br />
∫ x<br />
Φ(−x) = 1 − Φ(x)<br />
−∞<br />
P(−z ≤ Z ≤ z) = 2Φ(z) − 1.<br />
e − u2<br />
2 du.<br />
Die Funktion Φ läßt sich nicht explizit darstellen, sondern muß numerisch berechnet<br />
werden. Es gilt<br />
P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0.68,<br />
<strong>und</strong><br />
P(−2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0.95<br />
P(−3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 0.997.<br />
Wie schon oben erwähnt, ist sie überall tabelliert <strong>und</strong> in jedem guten Taschenrechner<br />
verfügbar. Ist X N(µ, σ 2 )-verteilt, so gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion F<br />
( X − µ<br />
F(x) = P(X ≤ x) = P ≤ x − µ ) ( ) x − µ<br />
= Φ .<br />
σ σ σ<br />
Damit erhalten wir insbesondere die sogenannten 1-σ, 2-σ <strong>und</strong> 3-σ Regeln:<br />
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) ≈ 0.68,<br />
<strong>und</strong><br />
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0.95<br />
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≈ 0.997.<br />
Wie bereits früher gezeigt, spielt die Normalverteilung als approximierende Verteilung<br />
eine zentrale Rolle.<br />
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