Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Das Minimum wird mit
erreicht. Es gilt nämlich
g(y) = E(X|Y = y)
E ( [X − g(Y )] 2) = E(X 2 ) − 2E[Xg(Y )] + E(g(Y ) 2 )
= E(X 2 ) − E {E(2Xg(Y )|Y )} + E(g(Y ) 2 )
= E(X 2 ) + E { −2E(X|Y )g(Y ) + g(Y ) 2} .
Bei festem Y = y wird −2E(X|Y = y)g + g 2 durch g = E(X|Y = y) minimiert. Dieses
Resultat ist Grundlage der Filtertheorie.
Nun kehren wir zurück zu normalverteilten Zufallsvariablen. Seien X und Z unabhängige
Zufallsgrößen, die beide N(0, 1)-verteilt sind. Dann ist
und
sowie
E(X) = 0 = E(Z)
1 = Var(X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2 = E(X 2 )
1 = Var(Z) = E(Z 2 ) − (E(Z)) 2 = E(Z 2 ).
Aus der Unabhängigkeit folgt E(XZ) = E(X)E(Z) = 0. Sei −1 < ρ < 1 und
Y = ρX + √ 1 − ρ 2 Z.
Wir untersuchen nun die gemeinsame Verteilung von X und Y . Offensichtlich gilt
E(Y ) = ρE(X) + √ 1 − ρ 2 E(Z) = 0.
Weiterhin ist
E(Y 2 ) = E
(ρ 2 X 2 + 2ρ √ )
1 − ρ 2 XZ + (1 − ρ 2 )Z 2
= ρ 2 E(X 2 ) + 2ρ √ 1 − ρ 2 E(XZ) + (1 − ρ 2 )E(Z 2 )
= ρ 2 + (1 − ρ 2 )
= 1.
Also gilt Var(Y ) = 1. Für die Kovarianz von X und Y erhalten wir
Kov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = E[X(ρX + √ 1 − ρ 2 Z)]
= ρE(X 2 ) + √ 1 − ρ 2 E(XZ) = ρ.
Die bedingte Verteilung von Y gegeben X = x ist gleich der Verteilung von ρx+ √ 1 − ρ 2 Z
und somit eine Normalverteilung mit Mittelwert ρx und Varianz 1 − ρ 2 . Damit gilt für
die bedingte Dichte f Y ( · |X = x)
(∗) f Y (y|X = x) =
(
1
√
2π(1 − ρ2 ) exp −
59
(y − ρx)2
2(1 − ρ 2 )
)
.