Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

4.4 Lebenszeiten
Wir wollen uns nun mit einem etwas anderen Zugang zur Beschreibung von zufälligen
Ausfallzeiten befassen. Dabei beschränken wir uns auf den Fall, daß diese stetig verteilt
sind.
Definition 4.4.1 Sei T eine positive und stetige Zufallsvariable mit Dichte f. Dann heißt
G(t) = 1 − F(t) =
die Zuverlässigkeitsfunktion von T. Die Funktion
heißt Ausfallrate.
∫ ∞
λ(t) = f(t)
G(t)
t
f(u)du
Es besteht folgender Zusammenhang zwischen der Zuverlässigkeitsfunktion G und der
Ausfallrate λ:
{ ∫ t
}
G(t) = exp − λ(u)du .
Die Größe ∫ t
λ(u)du heißt kumulierte Ausfallrate. Man sieht die obige Identität folgendermaßen
0
ein:
d
d
dt log(G(t)) = G(t) dt
= − f(t)
G(t) G(t) = −λ(t).
Bei der Exponentialverteilung ergibt sich
0
G(t) = e −λt
und λ(t) = λe−λt
e −λt = λ.
Bisweilen ist die folgende Formel für E(T) von Nutzen:
E(T) =
∫ ∞
0
G(t)dt.
Man kann diese Gleichung mit Hilfe partieller Integration aus E(T) = ∫ ∞
0
tf(t)dt herleiten.
Eigenschaften von Ausfallraten:
i) λ(t) ≥ 0 für alle t ≥ 0.
ii) ∫ ∞
0
λ(u)du = +∞.
Durch Vorgabe einer Ausfallrate läßt sich eine Verteilung spezifizieren.
Beispiel: (Weibull-Verteilung) Sei α > 0 und λ > 0. Sei
λ(t) = λαt α−1 .
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