Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Der bedingte Erwartungswert E(Y |X = x) von Y gegeben X = x ist deshalb gleich ρx.
Damit ist E(Y |X) = ρX. Für die gemeinsame Dichte f von X und Y erhalten wir gemäß
der Formel für die bedingte Dichte
f(x, y) = f X (x)f Y (y|X = x)
= √ 1 )
exp
(− x2
2π 2
=
(
1
√
2π(1 − ρ2 ) exp
(
1
2π √ 1 − ρ exp − (x2 − 2ρxy + y 2 )
2 2(1 − ρ 2 )
)
(y − ρx)2
−
2(1 − ρ 2 )
)
.
Diese Formel stimmt mit der der Formel (+) auf Seite 53 überein, wenn man µ X = µ Y = 0
und σ X = σ Y = 1 setzt. Dieser Ausdruck ist symmetrisch in x und y. Wir können also
die Rollen von X und Y vertauschen. Damit gilt auch:
a) die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y ist N(ρy, 1 − ρ 2 ).
b) E(X|Y = y) = ρy.
Setzt man nun X = U−µ U
σ U
(
1
2π √ σU 2 σ2 V (1 − ρ2 ) exp
−
und Y = V −µ V
σ V
[
1 (u − µU ) 2
2(1 − ρ 2 )
, so erhält man für U und V die Dichte
σ 2 U
− 2ρ (u − µ U)(v − µ V )
+ (v − µ ])
V ) 2
.
σ U σ V σV
2
Wegen V = σ V Y + µ V erhält man mit (∗) die bedingte Dichte
⎛ ( ( )) 2
⎞
1
f V (v|U = u) = √
2πσ
2
V
(1 − ρ 2 ) exp ⎜
⎝− 1 v − ρ u−µ U
σ U
σ V + µ V
⎟
2 σV 2 (1 − ⎠.
ρ2 )
D.h., die bedingte Verteilung von V gegeben U = u ist eine Normalverteilung mit
Mittelwert ρ u−µ U
σ U
σ V + µ V und Varianz σV 2 (1 − ρ2 ). Insbesondere ist
Aus der Gleichung
E(V |U = u) = ρ u − µ U
σ U
σ V + µ V .
f U (u) =
f(u, v)
f V (v|U = u)
ergibt sich, daß U N(µ U , σU 2 )-verteilt ist. Analog folgt, daß V N(µ V , σV 2 )-verteilt ist. Für
unkorrelierte U und V gilt speziell f V (v|U = u) = f V (v). Dies bedeutet, daß unkorrelierte
normalverteilte Zufallsgrößen unabhängig sind.
Beispiel: Der Statistiker Karl Pearson hat die Körpergrößen bei 1078 Vater-Sohn Paaren
bestimmt. Er stellte fest, daß die Väter im Mittel 5 Fuß und 9 Inch und die Söhne im
Mittel 5 Fuß und 10 Inch groß sind. Die Standardabweichung beträgt jeweils 2 Inch und
die Korrelation ist 0.5. Man kann in guter Näherung annehmen, daß die Körpergrößen in
einem Vater-Sohn Paar gemeinsam normalverteilt sind. Wie groß ist dann im Mittel der
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