Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Für die Kovarianz gilt folgende Verschiebungsformel
Kov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Es gilt stets −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1. Ist X = Y , so gilt
Damit ist ρ(X, X) = 1.
Kov(X, Y ) = Kov(X, X) = Var(X).
Als Beispiel wollen wir die 2-dimensionale Normalverteilung betrachen. Bei ihr ist die
Dichte der gemeinsamen Verteilung der Zufallsvariablen X und Y gegeben durch
(+) f(x, y) =
1
2π(det Σ) 1/2
( (
1 (x − µX ) 2
· exp −
2(1 − ρ 2 )
die Dichten der Randverteilungen sind
f X (x) =
f Y (y) =
σ 2 X
1
√
2πσ
2
X
e −(x−µ X) 2 /2σ 2 X
1
√
2πσ
2
Y
e −(y−µ Y ) 2 /2σ 2 Y
− 2ρ (x − µ X)(y − µ Y )
− (y − µ ))
Y ) 2
σ X σ Y σY
2
Außerdem ist ρ = Kor(X, Y ) und σ XY := Kov(X, Y ) = ρ σ X σ Y . Die Matrix Σ ist gegeben
durch
∑
( ) σ
2
=
X σ XY
.
Es gilt natürlich
Man erkennt, daß gilt
∫
σ XY =
R
∫
R
σ XY
σ 2 Y
(y − µ X )(y − µ Y )f(x, y)dxdy
f(x, y) = f X (x)f Y (y),
d.h. daß X und Y unabhängig sind, falls ρ = 0 bzw. σ XY = 0 sind.
Abbildung 4.4: 2-dimentionale Normalverteilung
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