Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

4.3 Exponential- und Gamma-Verteilung
Wir wollen nun ein wichtiges Beispiel für eine stetige Verteilung mit Dichte näher kennenlernen.
Eine Zufallsvariable T heißt exponentialverteilt mit Parameter λ > 0, falls sie die Dichte
{ 0 für t ≤ 0
f(t) =
λe −λt für t > 0
besitzt. Für die Verteilungsfunktion F von T gilt dann
∫ t
{
0 für t ≤ 0
F(t) = f(u)du =
−∞ λ ∫ t
0 e−λu du für t > 0 .
Damit erhalten wir
Für den Erwartungswert von T gilt
Die Varianz ist gleich 1 λ 2 .
{
0 für t ≤ 0
F(t) =
1 − e −λt für t > 0 .
E(T) = 1 λ .
Abbildung 4.2: Die Exponentialdichten für λ = 0.5, 1, 2
Wir wollen nun die Bedeutung von λ überlegen. Sei T die Lebensdauer einer technischen
Komponente und sei T exponentialverteilt mit Paramerter λ. Dann ist
P(T ≤ t + ∆ | T > t) = 1 − P(T > t + ∆ | T > t)
= 1 − e
[
−λ∆
= 1 − 1 − λ∆ + 1 ]
2 λ2 ∆ 2 + . . .
∼ = λ∆
für ∆ klein.
Dies besagt, daß die Ausfallrate für kleines ∆ näherungsweise proportional ist zu λ.
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