Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Dies beweist man mit Induktion: (f ∗ ) n (z) ist die Dichte einer Gamma-Verteilung mit
Parameter n und λ. Der Fall n = 2 wurde schon gezeigt. Sei die Aussage nun richtig für
beliebiges n. Wir zeigen, daß sie für n + 1 gilt.
(f ∗ ) n+1 (z) = f ∗ (f ∗ ) n (z)
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
f(z − x)(f ∗ ) n (x)dx
= λe −λ(z−x) 1 [0,∞] (z − x) λn x n−1
−∞
(n − 1)! e−λx 1 [0,∞] (x)dx
∫ ∞
= λ n+1 e −λz x n−1
(n − 1)! 1 [0,z)(x)dx
−∞
= λ n+1 e −λz ∫ z
= λ n+1zn
n! e−λz 1 [0,∞] (z).
0
x n−1
dx für z ≥ 0 und = 0 für z < 0
(n − 1)!
Eine Anwendung dieser Formel ist die Herleitung des Poisson-Prozesses.
Der Poisson-Prozess
Wir interessieren uns nun für die Anzahl der Atome einer radioaktiven Substanz, die
in einem gewissen Zeitintervall [0, t] zerfallen. Wir nennen diese Größe N t . Sei T 1 die
Zeitspanne bis das erste Atom zerfallen ist, T 2 die Zeitspanne, die nach T 1 vergeht bis das
zweite Atom zerfallen ist, T 3 die Zeitspanne bis das dritte Atom nach T 1 +T 2 zerfallen ist,
∑
u.s.w. Wir nehmen an, daß alle T 1 , T 2 , T 3 u.s.w. unabhängig sind. Sei S n = n T i . Dann
ist N t = max{k ≥ 1 | S k ≤ t}. Was ist die Verteilung von N t ?
Unter Verwendung des vorangegangenen Resultats erhalten wir:
P(N t = k) = P(S k ≤ t, S k+1 > t)
= P(S k+1 > t) − P(S k > t)
=
∫ ∞
t
λ k+1sk
k! e−λs ds −
= −λ ksk
k! e−λs ∣ ∣∣∣
∞
= (λt)k e λt
k!
t
∫ ∞
λ k
t
s k−1
(k − 1)! e−λs ds
Folglich gilt, daß N t Poisson-verteilt ist mit Parameter λ·t. Man nennt N t ; t ≥ 0 Poisson-
Prozess zur Intensität λ. Es gilt E(N t ) = λ · t und Var(N t ) = λ · t.
i=1
4.6 Bedingte Verteilungen und Bedingte Erwartungen
Wir wenden uns nun der bedingten Verteilung von X gegeben Y = y zu. Diese läßt sich
über ihre Dichte festlegen. Zur Motivation betrachten wir zunächst kurz den Fall, daß X
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