Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Das folgende Beispiel gilt allgemein.
Beispiel: (Lineares Filtern)
Seien X ein gesendetes und Y das zugehörige empfangene Signal. Gesucht wird eine lineare
Rekonstruktion aY + b mit minimaler mittlerer quadratischer Abweichung
Das Minimum wird für
E ( [X − (aY + b)] 2) .
a = ρ(X, Y ) σ(X)
σ(Y )
und b = E(X) − aE(Y )
erreicht. Es gilt nämlich
E ( [X − (aY + b)] 2) = E(X 2 ) − 2E[(aY + b)X] + E[(aY + b) 2 ]
= E(X 2 ) − 2aE(XY ) − 2bE(X) + a 2 E(Y 2 )
+2abE(Y ) + b 2 .
Ableiten nach a und b und 0 setzen ergibt die Gleichungen
Hieraus folgt zunächst
und
Damit ist
aE(Y 2 ) − E(XY ) + bE(Y ) = 0
b − E(X) + aE(Y ) = 0.
b = E(X) − aE(Y )
a [E(Y 2 ) − (E(Y )) 2 ] − [E(XY ) − E(X)E(Y )] = 0.
} {{ } } {{ }
=Var(Y )
=Kov(X,Y )
a = Kov(X, Y )
Var(Y )
= σ(X) ρ(X, Y ).
σ(Y )
Wir kommen nun zurück auf die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen und wollen uns mit
der Verteilung von deren Summen beschäftigen. Zunächst eine wichtige Tatsache. Sind
die Zufallsvariablen X 1 , X 2 , . . .,X n unabhängig und jeweils stetig verteilt mit Dichten
f 1 , f 2 , . . ., f n , so gilt für die gemeinsame Dichte
f(x 1 , x 2 , . . .,x n ) =
n∏
f i (x i ).
i=1
Denn: P(X 1 ≤ α 1 , . . .,X n ≤ α n ) =
=
=
54
n∏
P(X i ≤ α i )
i=1
∫ αi
n∏
i=1 −∞
∫ α1
∫ αn
· · ·
f i (x i ) dx i
−∞ −∞ i=1
n∏
f i (x i ) dx 1 . . .dx n