Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Beispiel 1:
Die mittlere Lebenszeit eines Transistors ist 100 Stunden. Was ist die Wahrscheinlichkeit,
daß der Transistor länger als 50 Stunden hält?
1
= 100, λ = 0, 01
λ
P(T > 50) = e −λ·50 = e −0,5 = 0, 606.
Beispiel 2: “Radioaktiver Zerfall”
Jedes Atom hat unabhängig von den anderen eine exponentialverteilte Lebensdauer T.
P(T > t) = e −λt
Die Halbwertszeit einer radioaktiven Substanz ist diejenige Zeit h, für die
gilt.
e −λh = 1 2
Beispiel: Strontium 90, h=28 Jahre
oder h =
log(2)
λ
1
λ = log(2)/h = 0, 0248/Jahr = 40, 4 Jahre.
λ
Die Wahrscheinlichkeit bei Strontium 90, daß ein Atom mehr als 50 Jahre nicht zerfällt,
ist
P(T > t) = e −λ·50 = 0, 29.
Dies ist auch der Anteil von Strontium 90, der nach 50 Jahren noch vorhanden ist. Dies
folgt aus dem Gesetz der Großen Zahlen. Bis 99 % von Strontium 90 zerfallen ist, vergehen
186 Jahre.
Die Exponentialverteilung ist durch die Eigenschaft der sogenannten ”
Gedächtnislosigkeit“
ausgezeichnet. Damit ist folgendes gemeint: Für 0 < s < t gilt
P(T > t | T > s) =
P(T > t)
P(T > s) = 1 − F(t)
1 − F(s)
= e−λt
= e−λ(t−s)
−λs
e
= P(T > t − s).
Nehmen wir etwa an, daß die Brenndauer von Glühbirnen einer bestimmten Sorte einer
Exponentialverteilung folgt, so ist P(T > t | T > s) die bedingte Wahrscheinlichkeit,
daß eine Glühbirne, die seit dem Zeitpunkt 0 in Betrieb ist, zum Zeitpunkt t noch nicht
durchgebrannt ist, gegeben die Kenntnis, daß sie zum Zeitpunkt s noch intakt war. Die
Wahrscheinlichkeit P(T > t − s) gibt die Wahrscheinlichkeit an, daß eine Glühbirne, die
zum Zeitpunkt s in Betrieb genommen wurde, zum Zeitpunkt t = s + (t − s) noch intakt
ist. Damit bedeutet die obige Gleichung, daß sich eine zum Zeitpunkt s noch intakte
Birne in der Zukunft wie eine zum Zeitpunkt s neue Birne verhält. Das heißt, es findet
keine Abnutzung oder Alterung statt. Im folgenden Abschnitt wird die Möglichkeit der
Alterung genauer diskutiert.
Eng verwandt mit der Exponentialverteilung ist die Klasse der Gamma-Verteilungen.
Dies ist eine sehr flexible Klasse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, auch in Hinblick
auf Lebensdauern.
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