Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

gegeben, falls
gilt.
∫ ∞
Beispiel: Gleichverteilung auf [a, b]
−∞
|g(x)|f(x)dx < ∞
Hier ist f(x) = 1
b−a 1 [a,b](x), falls a < b ist. Es gilt:
F(x) = x − a für a ≤ x ≤ b
b − a
F(x) = 0 für x < a
F(x) = 1 für x > b.
E(X) = 1
b − a
∫ b
a
xdx = 1 1
∣ ∣∣
b
b − a 2 x2 a
= b2 − a 2
2(b − a)
= a + b
2
Var(X) = 1
b − a
=
∫ b
a
1
3 (b3 − a 3 )
−
(b − a)
= 1 12 (b − a)2 .
( a + b
x 2 dx −
2
( ) 2 a + b
2
) 2
4.2 Die Normalverteilung
Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 (kurz
N(µ, σ 2 )-verteilt), falls für die zugehörige Dichte f
f(x) =
1
√
2πσ
2 e−(x−µ)2 2σ 2
gilt. Dabei ist π = 3.141592 . . . die Kreiszahl und e die Eulersche Konstante e = 2.718281 . . .
Ist X N(µ, σ 2 )-verteilt, so ist aX + b gemäß N(aµ + b, a 2 σ 2 )-verteilt. Insbesondere ist Z
mit
Z = X − µ
σ
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