Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

und Y beide diskret sind. Wir nehmen an, daß X und Y jeweils Werte in {1, 2, . . ., n}
annehmen. Dann ist die gemeinsame Verteilung von X und Y durch die Wahrscheinlichkeiten
p ij = P(X = i, Y = j)
festgelegt. Die Randverteilung von X ergibt sich zu
P(X = i) =
n∑
P(X = i, Y = j) =
j=1
n∑
p ij .
j=1
Die Randverteilung von Y ergibt sich zu
P(Y = j) =
n∑
P(X = i, Y = j) =
i=1
n∑
p ij .
i=1
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von X = i gegeben Y = j ergibt sich damit zu
P(X = i|Y = j) =
P(X = i, Y = j)
P(Y = j)
= p ij
n∑
.
p ij
i=1
Dies motiviert die folgenden Überlegungen für den Fall, daß X und Y gemeinsam stetig
verteilt mit Dichte f sind. Sei
f X (x|Y = y) =
f(x, y)
f Y (y) = f(x, y)
f(x, y)dx.
∫ ∞
−∞
Dabei lassen wir nur y Werte mit f Y (y) > 0 zu. Offensichtlich ist f X (x|Y = y) ≥ 0 und
∫ ∞
−∞
f X (x|Y = y)dx =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
f(x, y)
∫ ∞ f(x, y)dxdx = f(x, y)dx
−∞
= 1.
f(x, y)dx
−∞
Damit ist f X (.|Y = y) eine Dichte; die sogenannte bedingte Dichte von X gegeben Y = y.
Analog erhält man die bedingte Dichte f Y (.|X = x) von Y gegeben X = x zu
∫ ∞
−∞
f Y (y|X = x) =
f(x, y)
f X (x) = f(x, y)
f(x, y)dy.
∫ ∞
−∞
Es gilt also stets: bedingte Dichte = gemeinsame Dichte geteilt durch Randdichte. Damit
läßt sich die gemeinsame Dichte auch folgendermaßen darstellen
f(x, y) = f X (x)f Y (y|X = x) = f Y (y)f X (x|Y = y).
Der Erwartungswert der bedingten Verteilung von X gegeben Y = y wird mit E(X|Y = y)
bezeichnet und ist gleich
E(X|Y = y) =
∫ ∞
−∞
xf X (x|Y = y)dx =
∫ ∞
xf(x, y)dx
−∞
∫ ∞ .
f(x, y)dx
−∞
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