Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Dann gilt
{
G(t) = exp −
Für die zugehörige Dichte f ergibt sich
∫ t
0
}
λ(u)du = exp {−λt α } .
f(t) = −G ′ (t) = λαt α−1 e −λtα .
Für 0 < α < 1 fällt die Ausfallrate mit wachsender Zeit (Verjüngungseffekt) und für α > 1
wächst die Ausfallrate mit wachsender Zeit (Alterungseffekt).
Sei 0 < s < t. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit von s < T ≤ t gegeben T > s erhält
man
P(s < T ≤ t) F(t) − F(s)
P(s < T ≤ t | T > s) = =
P(T > s) 1 − F(s)
∫
1 t ∫ t
f(u)
= f(u)du =
1 − F(s)
1 − F(s) du.
s
s
Darüberhinaus gilt
P(T > t | T > s) = 1 − F(t)
1 − F(s) .
4.5 Gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallsvariablen
Wir betrachten nun n Zufallsvariablen X 1 , . . .,X n simultan und interessieren uns für die
gemeinsame Verteilung. Dabei werden wir den Fall n = 2 besonders behandeln und uns
im wesentlichen auf stetige Verteilungen mit Dichten konzentrieren. Mit der gemeinsamen
Verteilung meinen wir
P(X 1 ∈ I 1 , X 2 ∈ I 2 , . . ., X n ∈ I n ),
wobei I 1 , . . .,I n beliebige Intervalle aus R sind. Wir fassen gewissermaßen X 1 , . . .,X n als
Zufallselement aus R n auf.
Definition 4.5.1 Die Zufallsvariablen X 1 , . . .,X n heißen unabhängig, falls für alle Intervalle
I 1 , . . .,I n aus R
gilt.
P(X 1 ∈ I 1 , X 2 ∈ I 2 , . . .,X n ∈ I n ) =
n∏
P(X k ∈ I k )
Definition 4.5.2 Die Zufallsvariablen X 1 , . . .,X n heißen gemeinsam stetig verteilt mit
Dichte f, falls für alle Intervalle I 1 , . . .,I n aus R gilt
∫ ∫
P(X 1 ∈ I 1 , X 2 ∈ I 2 , . . .,X n ∈ I n ) = . . . f(x 1 , . . .,x n )dx 1 . . .dx n .
I n I 1
k=1
Die Funktion f heißt gemeinsame Dichte von X 1 , . . .,X n .
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