Kapitel 4 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten

Sohn eines Vaters mit 6 Fuß und 2 Inch Körpergröße?
Sei U die Körpergröße des Vaters und V die Körpergröße des Sohnes. Sei
X = U − µ U
σ U
und Y = V − µ V
σ V
.
Für U = 6 Fuß und 2 Inch erhalten wir X = 2.5 (12 Inch sind 1 Fuß). Da X und Y
gemeinsam standard normalverteilt sind, ist E(Y |X = x) = ρx. Damit ist E(Y |X =
2.5) = 1.25. Dies ergibt
E (V |U = u) = ρ u − µ U
σ U
σ V + µ V = 2.5 Inch + 5 Fuß 10 Inch = 6 Fuß 0.5 Inch.
Der Sohn eines außergewöhnlich großen Vaters ist also im Mittel kleiner als sein Vater.
Dieses Phänomen wurde von Galton als Regression zum Mittelwert bezeichnet.
4.7 Empirische Verteilungsfunktion und Quantile
Definition 4.7.1 Sei X eine Zufallsvariable und 0 < p < 1. Dann heißt q p Quantil der
Ordnung p oder p-Quantil, falls
P(X < q p ) ≤ p ≤ P(X ≤ q p )
gilt. q 1/2 heißt Median, q 1/4 heißt erstes Quartil, q 3/4 heißt drittes Quartil.
Man beachte, daß p-Quantile im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sind.
Ist F die Verteilungsfunktion von X, so gilt
P(X < q) = lim
h↓0
P(X ≤ q − h) = lim
h↓0
F(q − h) = F(q−).
Dabei bezeichnet F(q−) den linksseitigen Grenzwert von F an der Stelle q. Dieser existiert
stets, da F wachsend ist. Die definierende Gleichung für ein p-Quantil ist äquivalent zu
F(q−) ≤ p ≤ F(q).
Ist X stetig verteilt mit Dichte f, so ist F stetig und damit gilt für ein p-Quantil
F(q) = p.
Ist die Dichte f strikt positiv, so ist die Verteilungsfunktion F strikt monoton wachsend
und die Gleichung F(q) = p besitzt eine eindeutige Lösung.
Beispiel:
Sei X exponentialverteilt mit Parameter λ. Dann gilt E(X) = 1/λ und
∫ 1/λ
P(X ≤ 1/λ) = λ e −λx dx = 1 − e −1 ≈ 0.632 > 0.5.
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