Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

2.8 Bewegung im Zentralkraftfeld 17
Hieraus folgt 3 :
Oder ausgeschrieben:
Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit zu
v = d
dt (rêr) = ˙rêr + r ˙ êr = ˙rêr + r ˙ φêφ
˙x = ˙r cos φ − r ˙ φ sin φ
˙y = ˙r sin φ + r ˙ φ cos φ
v 2 = ˙x 2 + ˙y 2 = ˙r 2 + r 2 ˙ φ 2
Nun werden wir die Bewegungsgleichungen lösen. Der Energiesatz m
2 v2 + V (r) = E lautet also in
Polarkoordinaten:
m
2
Der Drehimpulssatz mr × v = L0 lautet
oder
�
˙r 2 + r 2 ˙ φ 2 �
+ V (r) = E, (2.15)
mr 2 ˙ φ = L0
˙φ = L0
mr 2
(2.16)
˙φ hat stets das gleiche Vorzeichen, da L0 (falls L0 �= 0), m und r 2 nicht ihre Vorzeichen ändern. Also
nimmt φ monoton zu oder ab, der Umlaufsinn des Massenpunktes ändert sich also nicht.
Setzt man dies in (2.15) ein, ergibt sich
m
2 ˙r2 + L20 2mr
2 + V (r) = E (2.17)
In (2.15) und (2.17) erkennt man, daß die kinetische Energie in einen radialen Anteil m
2 ˙r2 und in die
Rotationsenergie m
2 r2 ˙ φ2 = L20
2mr2 zerfällt.
(2.17) können wir integrieren. Dazu lösen wir zuerst auf
und trennen die Variablen
Jetzt wird integriert:
˙r = ±
�
2
m
dt = ± �
2
m
� r(t)
t − t0 = ±
r(t0)
�
E − V (r) − L20 2mr2 �
dr
�
E − V (r) − L2 0
2mr 2
dr
� .
� 2
m (E − Veff (r))
3 Die Ableitungen der Basisvektoren kann man in Komponentenschreibweise ausrechnen:
Analog erhält man
˙êr = d
„
cos φ
dt sin φ
« „
−φ˙ sin φ
=
˙φ cos φ
˙êφ = − ˙ φêr
«
= ˙ φêφ
(2.18)
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth