Theoretische Physik I Mechanik nach Prof. Brand - Fachschaft ...

2.2 Newton’sche Bewegungsgleichungen 9
d.) Die Kräfte können vom Ort und von der Geschwindigkeit der Teilchen sowie von der Zeit abhängen:
K (i) = K (i) (x (1) , . . . , x (N) , ˙x (1) , . . . , ˙x (N) , t)
e.) Meist läßt sich die Kraft folgendermaßen zerlegen:
K (i) = K (i) (x (i) , ˙x (i) , t) + �
j
K ij (x (i) , x (j) )
(Hierbei wurde K ii = 0 gesetzt) Der erste Summand hängt nur vom aktuellen Zustand des Teilchens,
auf das die Kraft wirkt, ab. Die Summe besteht aus Summanden, die nur vom Ort zweier
Teilchen abhängen.
2.2.2 Arbeit und konservative Kraftfelder
Arbeit
Bei der Bewegung des Systems von einem Anfangspunkt x (i)
A zu einem Endpunkt x(i)
B (i = 1, . . . , N)
entlang einer Bahn im Phasenraum wird die Arbeit WAE vom Kraftfeld geleistet:
Konservative Kraftfelder
� N�
WAE =
Bahn
i=1
K (i) dx (i) � tB
=
tA
N�
i=1
(i) dx(i)
K
dt dt
Ein Kraftfeld K (i) (x (1) , . . . , x (N) ) heißt konservativ, wenn die Arbeit entlang jedes geschlossenen Weges
verschwindet.
Ist ein Kraftfeld konservativ, so existiert ein Potential V = V (x (1) , . . . , x (N) ) mit
�
Hierbei ist ∇i =
K (i) = −∇iV (x (1) , . . . , x (N) ).
�
der Gradient nach x (i) . Es gilt
∂
∂x (i)
∂ ,
1 ∂x (i)
∂ ,
2 ∂x (i)
3
V (x (1) , . . . , x (N) � (1) (N)
(x ,...,x )
) = −
(x (1)
0 ,...,x(N) 0 )
Das Integral ist über einen beliebigen Weg von (x (1)
0
�
i
�
(i)
K ξ (1) , . . . , ξ (N)�
dξ (i) . (2.4)
, . . . , x(N)
0 ) nach (x (1) , . . . , x (N) ) zu nehmen. Da
es sich um ein konservatives Kraftfeld handelt, ergeben alle Wege den gleichen Wert. Daß diese Formel
wirklich ein Potential ergibt, erkennt man durch Nachrechnen. Wir wollen uns hier auf den Beweis für ein
Teilchen (d.h. N = 1) beschränken; der Beweis für mehrere Teilchen verläuft analog, es treten lediglich
einige Summenzeichen auf.
Der Potentialunterschied zwischen zwei benachbarten Punkten ist
Andererseits ist nach Definition (2.4):
V (x + ∆x) − V (x) ≈ ∇V (x) ∆x
� x+∆x � x � x+∆x
V (x + ∆x) − V (x) = − Kdx + Kdx = − Kdx ≈ −K ∆x
x0
Da diese Rechnung für alle (genügend kleinen) ∆x gilt, folgt durch Vergleich der letzten beiden Formeln
x0
K = −∇V
Klassische Mechanik c○Fachschaft Mathe/Physik Uni Bayreuth
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